广东省湛江市吴川市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-22 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $i$ C、0 D、1

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2. 化简 $\vec{M A} - (\vec{B A} - \vec{C M}) + \vec{B C} =$ （）

A、 $2 \vec{M C}$ B、 $2 \vec{C B}$ C、 $2 \vec{B C}$ D、 $\vec{0}$

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3. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $4 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$

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4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $2 \vec{a}$ D、 $2 \vec{b}$

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5. 如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长 $S A = 3$ ，一只蚂蚁从 $A$ 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 $A$ ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、 $2 π$

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6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形 $O' A' B' C'$ ，且 $O' A' = 2$ ， $O' C' = 1$ ， $A' B'$ 平行于 $y'$ 轴，则这个平面图形的面积为 $($ $)$

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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7. 甲船在岛B的正南方A处， $A B = 10$ 千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东 $60 °$ 的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）

A、 $\frac{5}{14}$ 小时 B、 $\frac{15}{7}$ 小时 C、 $\frac{3}{2}$ 小时 D、 $\frac{3}{4}$ 小时

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8. 如图，线段 $A B = 2$ ，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD， $B C = 1$ ，设O为原点，则 $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $[0, 3]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[1, 4]$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法不正确的有（）

A、两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； B、以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； C、各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； D、圆锥的轴截面是等腰三角形.

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10. 下列说法中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{B C}| = 3, |\vec{A C}| = 4, ∠ C = 30^{\circ}$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} = 6 \sqrt{3}$ B、已知 $\vec{a} = (- 4, 5), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 6 \sqrt{2}$ C、已知 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (d, 1), \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $d$ 的取值范围是 $d < 1$ D、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $A, B, D$ 三点共线

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11. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 B、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ， $C \geq \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{b}{c}$ 的最大值为1

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 $i$ 为虚数单位，且 $a = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $a^{2022} + a^{2021} + 1 =$ ．

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13. 已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，且这个正方体的表面积为12，则这个球的体积为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上的点，且 $\overset{⃑}{C P} = \frac{2}{3} \overset{⃑}{C A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{C B}$ ，且 $Q$ 是 $B C$ 的中点， $A Q$ 与 $C P$ 的交点为 $M$ ，又 $\overset{⃑}{C M} = t \overset{⃑}{C P}$ ，则实数 $t =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i}$ ．

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若z是关于x的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，求实数a，b的值．

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16. 已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, 1)$
（1）当k为何值时， $k \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}$ 平行：
（2）若 $\overset{⃑}{b} ⊥ (\overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b})$ ，求 $|\overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}|$ 的值

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 a = 2 c c o s B + b$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $a + b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ .
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

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19. 记△ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{\cos A}{1 + \sin A} = \frac{\sin 2 B}{1 + \cos 2 B}$ ．

(1)、若 $\cos C = - \frac{1}{3}$ ，求 $\sin B$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值．

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