北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-23 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求）

1. 在复平面内，复数 $z = i (1 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, t)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、﹣4 B、1 C、2 D、4

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3. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的关系是（）

A、既不共线也不垂直 B、垂直 C、同向 D、反向

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4. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点 $A (0, 1), B (3, 2)$ ，向量 $\overset{⇀}{A C} = (- 4, - 3)$ ，则向量 $\overset{⇀}{B C} =$

A、 $(- 7, - 4)$ B、 $(7, 4)$ C、 $(- 1, 4)$ D、 $(1, 4)$

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5. $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- 3 \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 已知 $A, B, C, D$ 是平面内四个不同的点，则“ $\vec{A B} / / \vec{D C}$ ”是“四边形 $A B C D$ 为平行四边形”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 等边 $△ A B C$ 的边长为2，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{B C}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $2 \vec{B C}$ D、 $- 2 \vec{B C}$

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8. 为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，需要把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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9. 据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有 $△ A B C$ 满足“勾3股4弦5”，其中 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $D$ 是 $C B$ 延长线上的一点，则 $\overset{⃑}{A C} \cdot \overset{⃑}{A D}$ =（）

A、3 B、4 C、9 D、不能确定

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，且 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} = - 3 \sqrt{3}$ ，则 $|\overset{⃑}{A C} - λ \overset{⃑}{A B}| (λ \in R)$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共5，每小题6分，共30分）

11. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, m)$ ， $\overset{⃑}{b} = (3, - 2)$ ，且 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $m =$ .

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12. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，那么 $\bar{z} =$ ， $| z | =$ ．

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13. 已知向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则求 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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14. 已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，
①若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；②若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ ；
③若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；④若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ ．
其中正确命题的序号是．

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15. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量 $\overset{⃑}{A P} = λ \overset{⃑}{A B} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16. 已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(3)、当k为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ？

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ B =60 °$ ，且 $\vec{B C} = 3 \vec{A D}$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{O C}$ ， $\vec{O B}$ ；

(2)、求 $cos ∠ C O D$ 的值．

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18. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为 $12 \sqrt{6}$ nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 $8 \sqrt{3}$ n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．

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19. $Δ Α Β C$ 的内角 $Α$ ， $Β$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos Α, \sin Β)$ 平行．
（Ⅰ）求 $Α$ ；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ 求 $Δ Α Β C$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos φ - \cos 2 x \sin φ$ ，其中 $|φ| < \frac{π}{2}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 $f (x)$ 存在，并完成下列两个问题．
条件①： $f (x + \frac{π}{3})$ 为奇函数；条件②： $f (0) = f (\frac{2}{3} π)$ ；条件③： $f (\frac{π}{3} - x) = f (\frac{π}{3} + x)$

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、若 $m > 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[0, m]$ 上最小值为 $- \frac{1}{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．
条件①：对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ 成立；
条件②： $f (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ ；
条件③： $f (\frac{π}{3}) - f (- \frac{π}{6}) = 2$ ．

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21. 对于任意实数a，b，c，d，表达式 $a d - b c$ 称为二阶行列式，记作 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ ．

(1)、求下列行列式的值：
① $|\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}|$ ；② $|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix}|$

(2)、求证：向量 $\vec{p} = (a, b)$ 与向量 $\vec{q} = (c, d)$ 共线的充要条件是 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = 0$ ；

(3)、讨论关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ （ $a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} \neq 0$ ）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）

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