云南省昭通市威信县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-30 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 设集合 $U = \{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5\}$ ， $A = \{1 ， 2 ， 3\}$ ， $B = \{2 ， 4\}$ ，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $\{4\}$ B、 $\{2 ， 4\}$ C、 $\{4 ， 5\}$ D、 $\{1, 3 ， 4\}$

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2. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的定义域是( )

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[1, + \infty)$

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3. 若 $α$ 满足 $\frac{\sin α - 2 \cos α}{\sin α + 3 \cos α} = - 2$ ，则 $\tan α$ 等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\pm \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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4. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题，今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣人（）

A、一百零五人 B、一百二十五人 C、一百三十五人 D、一百四十五人

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5. 若复数 $z$ 满足 $(3 - i) z = 1 - 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 已知扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，面积为 $6 π$ ，则此扇形的半径为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (3, x)$ ，且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、-6 B、6 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列各式不正确的是（）

A、 ${(\frac{n}{m})}^{7} = n^{7} m^{\frac{1}{7}}$ B、 $\sqrt[12]{{(- 3)}^{4}} = \sqrt[3]{- 3}$ C、 $\sqrt[4]{x^{3} + y^{3}} = {(x + y)}^{\frac{3}{4}}$ D、 $\sqrt{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{3}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ D、 $\vec{c} = 5 \vec{a} + 3 \vec{b}$

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11. 已知双曲线的方程为 $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ ，则（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、焦距为 $8 \sqrt{5}$ C、离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、焦点到渐近线的距离为8

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 直线 $2 x + (1 - a) y + 2 = 0$ 与直线 $a x - 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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13. 若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{16}{x + 1}$ 的最小值为.

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14. 某学校为了了解学生的学习情况，从每班随机抽取了5名学生进行调查.若（1）班有50名学生，对所有学生按01到50进行编号，请从下面的随机数表的第2行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则抽取的样本的编号是.
$\begin{array}{l} 0 & 4 & 4 & 7 & 8 & 3 & 9 & 4 & 3 & 6 & 4 & 9 & 6 & 7 & 6 & 3 & 2 & 1 & 8 & 4 & 6 & 1 & 1 & 1 & 9 \end{array}$
$\begin{array}{l} 3 & 7 & 6 & 3 & 6 & 6 & 6 & 7 & 6 & 1 & 6 & 8 & 3 & 1 & 2 & 3 & 6 & 6 & 0 & 5 & 0 & 1 & 4 & 0 & 5 \end{array}$
$\begin{array}{l} 9 & 7 & 2 & 6 & 6 & 4 & 8 & 1 & 5 & 2 & 4 & 5 & 3 & 3 & 3 & 2 & 0 & 3 & 0 & 5 & 2 & 5 & 7 & 8 & 7 \end{array}$
$\begin{array}{l} 7 & 4 & 4 & 7 & 2 & 2 & 1 & 4 & 7 & 0 & 2 & 3 & 2 & 7 & 2 & 7 & 7 & 6 & 7 & 1 & 4 & 1 & 9 & 9 & 3 \end{array}$
$\begin{array}{l} 1 & 7 & 6 & 2 & 6 & 5 & 5 & 2 & 7 & 0 & 3 & 9 & 7 & 7 & 5 & 1 & 5 & 3 & 5 & 5 & 8 & 9 & 5 & 1 & 1 \end{array}$

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

15. （1）圆 $C$ 过 $(0, 3) 、 (4, 5)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 8 = 0$ 上，求圆 $C$ 的方程；
（2）经过圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ 上一点 $A (4, - 3)$ 且与圆相切的直线的一般式方程.

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16. （1）已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $x + \frac{1}{x}$ 的值；
（2）化简 $: 16^{\frac{1}{2}} + 2^{{log}_{2} 3} - lg 4 - 2 lg 5$ ；
（3） $2 \times {(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})}^{6} + {(\sqrt{2 \sqrt{2}})}^{\frac{4}{3}} - 4 \times {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} + {(- 1024)}^{0}$ .

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D // B C, A D ⊥ D C,$ $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A B //$ 平面 $P C E$

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$

(3)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ，求直线 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正切值.

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18. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：

(1)、斜率是 $\sqrt{3}$ ，且经过点 $A (5, 3)$ ；

(2)、斜率为 $4$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ ；

(3)、经过 $A (- 1, 5)$ ， $B (2, - 1)$ 两点；

(4)、在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 $- 3, - 1$ .

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19. （1）化简： $\frac{tan (2 π - α) \cdot sin (- 2 π - α) \cdot cos (6 π - α)}{cos (α - π) \cdot sin (5 π - α)}$ ；
（2）已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- \frac{1}{3}, - \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ ，求 $sin α, cos α, tan α$ 的值；
（3）已知角 $α$ 终边上一点 $P (sin \frac{4 π}{3}, cos \frac{5 π}{6})$ ，化简并求值： $\frac{cos (\frac{π}{2} + α) sin (- π - α)}{cos (\frac{11 π}{2} - α) sin (\frac{9 π}{2} + α)} - \frac{sin (π - α)}{sin (2 π + α) + cos (- α)}$ .

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