四川省江油市太白中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题-在线组卷题库

1. 函数 $f (x) = 3 x^{2} + cos x$ 的导函数是（）

A、 $f^{'} (x) = 6 x + \sin x$ B、 $f^{'} (x) = 6 x - \sin x$ C、 $f^{'} (x) = x^{3} - \sin x$ D、 $f^{'} (x) = x^{3} + \sin x$

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2. 某物体运动方程是 $s = t + \frac{1}{9} t^{3}$ （ $s$ 的单位为 $m$ ），该物体在 $t = 3 s$ 时瞬时速度是（）

A、 $6 m / s$ B、 $5 m / s$ C、 $4 m / s$ D、 $2 m / s$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 4)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 C、函数 $f (x)$ 在 $x = - 4$ 处取得极值 D、函数 $f (x)$ 只有一个极值点

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4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{5}$ 是较小的两份之和，则最小的一份为（）

A、 $\frac{40}{9}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{3}$

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5. 函数 $f (x) = a x + e^{x}$ 在 $(- \infty, 1]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - e)$ D、 $(- \infty, - e]$

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6. 数列{a_n}满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 2^{2} a_{3} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{n}{2}$ (n∈N^*)，数列{a_n}前n和为S_n ，则S₁₀等于（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{55}$ B、 $1 - {(\frac{1}{2})}^{10}$ C、 $1 - {(\frac{1}{2})}^{9}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{66}$

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7. 函数 $f (x) = \ln (x - a) + b$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ ，则不等式 $0 \leq f (x - 1) \leq 1$ 的解集为（）

A、 $[1, e]$ B、 $[\frac{1}{e}, 1]$ C、 $[\frac{1}{e}, e]$ D、 $[2, e + 1]$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 ln (e^{x} + 1) - x$ ， $g (x) = f^{'} (x)$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若不等式 $g (a x^{2}) - g (2 ln \frac{1}{x}) \leq 0$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{\sqrt{e}}]$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{\sqrt{e}}]$

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9. 下列数列是等比数列的是（）．

A、1，1，1，1，1 B、0，0，0，0，… C、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{8}$ ， … D、 $- 1$ ， $- 1$ ， 1， $- 1$ ， …

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10. 判断下列命题正确的是（）

A、函数的极小值一定比极大值小． B、对于可导函数 $f (x)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 为函数的一个极值点． C、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内单调，则函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内一定没有极值． D、三次函数在R上可能不存在极值．

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11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{10} = 55$ B、 $a_{8} - a_{6} = 24$ C、 $S_{10} = 280$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 共有84项

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12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x + 3$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ C、 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 为定值 D、 $a = \frac{1}{6}$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 1]$ 上的值域是 $[\frac{1}{3}, \frac{17}{3}]$

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13. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} a_{5} = 8$ ，则 $a_{3} a_{4} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (2) x - \frac{3}{4} x^{2} + \ln x$ ，则 $f (1) =$ .

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15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2,$ 数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 - b_{n}$ ．设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ 为．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x), f^{'} (x) > 2, f (2) = 4$ ，则不等式 $x f (x - 1) > 2 x^{2} - 2 x$ 的解集为．

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17. 已知函数 $f (x) ＝ x^{3} - 3 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(2, 2)$ 处的切线方程

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最大值和最小值

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18. 已知在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 5$ ， $a_{17} = 3 a_{6}$ ．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：
（2）设 $b_{n} = \frac{2}{n (a_{n} + 3)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2} (a, b \in R)$ ，若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值10，.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、方程 $f (x) = m$ 在 $x \in [0, 2]$ 有解，求实数 $m$ 的范围.

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20. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产 $x$ 万件，需另投入流动成本 $W (x)$ 万元.已知在年产量不足4万件时， $W (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ ，在年产量不小于4万件时， $W (x) = 7 x + \frac{64}{x} - 27$ .每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)、写出年利润 $P (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）

(2)、年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

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21. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 S_{n} + a_{n} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n}$ ，且数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ 都有不等式 $T_{n} \leq \frac{16}{9} + λ a_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数， $f (x) = a x^{2} - \ln x, a \in R$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若函数 $f (x)$ 有 $2$ 个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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四川省江油市太白中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

一、单选题（每题5分共40分）

二、（来自大优70页第4题）

三、（来自小优133页第2题）

四、多选题（每题5分共20分）

五、填空题（每题5分共20分）

六、（来自午练19第4题）

七、解答题