四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-19 类型：期中考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 给出下列命题：① $y = \ln 2$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{2}$ ；② $y = \frac{1}{x^{2}}$ ，则 ${y^{'}|}_{x = 3} = - \frac{2}{27}$ ；③ $y = 2^{x}$ ，则 $y^{'} = 2^{x} \ln 2$ ；④ $y = \log_{2} x$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ .其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = 100$ ，则 $a_{1} + a_{13}$ 的值为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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3. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“ $q > 1$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设等差数列数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m} = 2, S_{2 m} = 17$ ，则 $S_{4 m} =$ （）

A、32 B、47 C、54 D、86

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5. 若函数f(x)= $\frac{1}{2}$ f^'(-1)x²-2x+3，则f^'(-1)的值为　(　　)

A、0 B、-1 C、1 D、2

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x}{2 e^{x}}$ 的大致图像是

A、 B、 C、 D、

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7. 10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）

A、 $C_{7}^{2} A_{5}^{5}$ B、 $C_{7}^{2} A_{5}^{2}$ C、 $C_{7}^{2} A_{3}^{2}$ D、 $C_{7}^{2} A_{4}^{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{5} - 2 x + e^{x} - e^{- x}$ ，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（　　）

A、 $[- 1, \frac{1}{2}]$ B、 $(- 1, \frac{1}{2})$ C、 $[- 2, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.

9. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $S_{3}$ ， $S_{9}$ ， $S_{6}$ 成等差数列，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} + a_{5} = 2 a_{8}$ B、 $a_{3} + a_{6} = 2 a_{9}$ C、 $a_{8}^{2} = a_{2} \cdot a_{5}$ D、 $a_{9}^{2} = a_{3} \cdot a_{6}$

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10. 函数 $f (x) = x e^{- x}$ 的单调递增区间可以是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[2, 8]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[0, 1]$

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11. 已知 ${(1 - 2 x)}^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2021} x^{2021}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、展开式中所有项的二项式系数的和为 $2^{2021}$ ； B、展开式中所有奇次项系数的和为 $- \frac{3^{2021} + 1}{2}$ ； C、展开式中所有偶次项系数的和为 $\frac{1 - 3^{2021}}{2}$ ； D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2021}}{2^{2021}} = - 1$ .

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12. 下列命题是真命题有（）

A、若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 B、函数 $y = f (x)$ 的切线与函数可以有两个公共点 C、已知实数 $a > 0, b \in R$ ，若函数 $f (x) = a x^{3} - 3 a x^{2} + b$ 有且仅有3个零点，则b的取值范围是 $(0, 4 a)$ D、若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x) < 1$ ，且 $f (1) = 2$ ，则不等式 $f (x) > x + 1$ 的解集是 $(- \infty, 1)$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{- 2}$ 的项的二项式系数为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + n + 1 ， n \in N^{*}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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15. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2} = \frac{3}{4}$ ， $S_{4} = \frac{15}{4}$ ，则 $a_{6}$ ＝．

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16. 已知直线 $y = 4 x + a (a < 0)$ 和曲线 $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 相切，则切点坐标为，实数a的值为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第17题10分，其余每题均12分）

17. 已知数列{a_n}为等差数列，且a₁＋a₅＝-12，a₄＋a₈＝0.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若等比数列{b_n}满足b₁＝-8，b₂＝a₁＋a₂＋a₃ ，求数列{b_n}的通项公式．

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18. 已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第 $6$ 项为常数项．

(1)、求 $n$ ；

(2)、求含 $x^{2}$ 项的系数；

(3)、求展开式中所有的有理项．

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19. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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20. 已知(x²－2x－3)¹⁰＝a₀＋a₁(x－1)＋a₂(x－1)²＋…＋a₂₀(x－1)²⁰.
（1）求a₂的值；
（2）求a₁＋a₃＋a₅＋…＋a₁₉的值；
（3）求a₀＋a₂＋a₄＋…＋a₂₀的值．

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21. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{5 n - 4}{1 + 5 n}, a_{1} = 1$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 4) (a_{n} + 14)}, T_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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22. （1）证明：当 $x \geq 0$ 时， $e^{x} \geq \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ ；
（2）已知函数 $f (x) = e x^{2} - x ln x$ .求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < x e^{x} + \frac{1}{e}$ .

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