浙江省杭州四中吴山校区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-03-16 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 直线 $l : x + \sqrt{3} y = 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 某校素质运动会上， $10$ 个男生的引体向上个数依次为 $15, 17, 14, 12, 10, 17, 17, 16, 12, 14$ ，设这组数据的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，众数为 $c$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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3. 过 $A (6, 0)$ 和 $B (0, - 8)$ 两点的面积最小的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 10$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 100$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$

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4. 如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $M$ 在线段 $O A$ 上，且 $O A = 3 A M$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知 $l_{1} // l_{2}, l_{1} : 2 x + y + 4 = 0, l_{2} : 6 x + a y + 2 = 0$ ，则它们的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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6. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点， $F_{1}$ 为左焦点，则 $△ A F_{1} B$ 的周长为（）

A、 $20$ B、 $\frac{500 \sqrt{23}}{29}$ C、 $10$ D、 $\frac{250 \sqrt{23}}{29}$

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7. 已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件 $A$ 有10个样本点，事件 $B$ 有8个样本点，事件 $A \cup B$ 有16个样本点，则 $P (\bar{A} \cap B) =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则下列结论错误的是（）

A、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ B、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ C、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ D、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 的平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．少选得2分，多选得0分）

9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2 k + 8} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，则 $k$ 的值可能是（）

A、 $- 6$ B、 $8$ C、 $\frac{11}{4}$ D、 $- \frac{11}{4}$

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10. 目前学校教室内垃圾中饮料瓶所占体积最大，很轻易的就将班级内垃圾桶塞满，给班级卫生带来极大挑战．某热心小组为了研究饮料瓶给班级带来的卫生压力，随机调查了 $A$ 班和 $B$ 班 $6$ 月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按 $[10, 20)$ 、 $[20, 30)$ 、 $[30, 40)$ 、 $[40, 50)$ 、 $[50, 60)$ 、 $[60, 70]$ 分组，分别得到频率分布直方图如下．下列说法正确的是（）

A、 $m = 0.025$ B、 $A$ 班该月平均每天产生的饮料瓶比 $B$ 班更多 C、若 $A$ 班和 $B$ 班 $6$ 月产生饮料瓶数的上四分位数分别是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $x_{1} < x_{2}$ D、已知该校共有学生 $1500$ 人，则约有 $300$ 人 $6$ 月份产生饮料瓶数在 $[40, 50)$ 之间

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11. 若对圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点 $P (x, y)$ ， $|4 x - 3 y + m| + |4 x - 3 y - 9|$ 的取值与 $x$ 、 $y$ 无关，则实数 $m$ 的取值可以是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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12. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均为 $4$ ，点 $O$ 和点 $E$ 分别为棱 $B C$ 和棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，先将底面 $A B C$ 置于平面 $α$ 内，再将三棱柱绕 $B C$ 旋转一周，则以下结论正确的是（）

A、设向量 $\vec{O E}$ 旋转后的向量为 $\vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| = 2 \sqrt{5}$ B、点 $E$ 的轨迹是以 $\sqrt{19}$ 为半径的圆 C、设 $\vec{O E}$ 在平面 $α$ 上的投影向量为 $\vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|$ 的取值范围是 $[1, 2 \sqrt{5}]$ D、直线 $O E$ 在平面 $α$ 内的投影与直线 $B C$ 所成角的余弦值的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5}, 1]$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．

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14. 已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{m} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = λ \vec{a} + \vec{b}, < \vec{a}, \vec{b} > = 60 °$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $λ$ 的值为．

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15. 若一组 $10$ 个数据 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{10}$ 的平均数为 $3$ ，方差为 $6$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{10}^{2} =$ ．

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16. 已知某 $30 °$ 的直角三角板斜边长 $10 cm$ ，动点P到直角顶点距离始终为 $15 cm$ ，记P到三角板斜边两个端点距离分别为 $l (cm), m (cm)$ ，则 $l^{2} + m^{2}$ 范围为（单位平方厘米）．

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四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18题到22题每题12分）

17. 为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为 $13 .2cm$ 和13.36，女生的平均数和方差分别为 $15 .2cm$ 和17.56．

(1)、求样本中男生和女生应分别抽取多少人；

(2)、求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $n_{1}, \bar{x}, s_{1}^{2}, n_{2}, \bar{y}, s_{2}^{2}$ ．记总样本的平均数为 $\bar{ω}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，则 $s^{2} = \frac{1}{n_{1} + n_{2}} \{n_{1} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + n_{2} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}]\}$ ．

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18. 已知空间三点 $A (0, - 2, 3)$ 、 $B (- 2, - 1, 6)$ 、 $C (1, 1, 5)$ .

(1)、若向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{A B}$ 平行，且 $|\vec{m}| = \sqrt{14}$ ，求 $\vec{m}$ 的坐标．

(2)、若向量 $\vec{n}$ 分别与 $\vec{C B}$ 、 $\vec{C A}$ 垂直，且 $|\vec{n}| = \sqrt{3}$ ，求 $\vec{n}$ 的坐标．

(3)、求以 $C B$ 、 $C A$ 为邻边的平行四边形的面积．

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19. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ， $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在的直线方程为 $x - 2 y - 1 = 0$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B N$ 所在的直线方程为 $7 x + y - 12 = 0$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程

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20. 浙江省高考目前实行“ $3 + 3$ ”模式，其中一个“ $3$ ”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，另一个“ $3$ ”指的是考生需要在物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术中任选 $3$ 科，同学们的选科会出现 $35$ 种不同的组合．已知 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班选科要求是物理和化学双选，其他 $5$ 个科目任选 $1$ 科．

(1)、从所有选科组合中任意选取 $1$ 个，求该选科组合符合 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率；

(2)、假设甲、乙两人选择任意 $1$ 个选科组合是等可能的，求这两人中有且只有一人的选科组合符合 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率．

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21. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A D = A A_{1} = 2$ ，点E在 $A B$ 上，且 $A E = 1$

(1)、求直线 $D_{1} E$ 与 $A_{1} C$ 所成角 $α$ 的余弦值．

(2)、在图中画出面 $A B C_{1}$ 与面 $A_{1} E C$ 的交线并求出该交线在长方体内部的长度．

(3)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} E C$ 的距离．

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22. 已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ，圆心在直线 $y = x + 1$ 上，截 $y$ 轴弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 半径小于 $10$ ，点 $D$ 在该圆上运动，点 $B (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $B$ 、 $D$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $B D$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|B M| \cdot |B N|$ 恒为定值．

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