2025高考一轮复习（人教A版）第5讲二次函数与一元二次方程、不等式

试卷更新日期：2024-08-29 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知集合 $M = {x \in Z | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $N = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $[- 1 ， 4]$

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2. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若关于 $x$ 的不等式 $| x^{2} + m x + n | > 0$ 的解集为 ${x | x \neq 1 且 x \neq 2}$ ，则（）

A、 $m = 3$ ， $n = 2$ B、 $m = - 3$ ， $n = 2$ C、 $m = 3$ ， $n = - 2$ D、 $m = - 3$ ， $n = - 2$

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4. 已知集合 $A = {1, 3}, B = {x ∣ (x - a) [x - (a - 2)] ⩽ 0, a \in R}$ ，若 $A \cup B = B$ ，则（）

A、 $a = 1$ B、 $a = 3$ C、 $1 < a < 3$ D、 $1 ⩽ a ⩽ 3$

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5. 已知集合 $A = {x | l o g_{3} (x + 2) > 1}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B)$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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6. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | 2^{x - 1} \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ ( )

A、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$

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7. 集合 $P = {x | \frac{x - 2}{x + 1} \leq 0, x \in Z}$ 的子集个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数 $f (x)$ ，对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 有 $f [f (x) - l n x] = 1$ 恒成立，若方程 $f (x) \cdot f^{'} (x) = m$ 有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(- \infty, 1]$

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二、填空题

9. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，则不等式 $(a x + b) (b x + c) (c x + a) < 0$ 的解集是.

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2} + b x + c) > 0$ 的解集为 $(1 ， 2)$ ，其中 $b \in (- 6 ， 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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11. 已知实数a，b满足 $l g a + l g b = l g (a + 2 b)$ ，则 $a + b$ 的最小值是.

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x + 1 ， x \geq 0 \\ 2 x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (m) < f (2 - m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} ， \\ l o g_{16} x ， \end{array}$ $\begin{array}{l} 0 \leq x < 2 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $[f (x)]^{2} + a f (x) + b = 0 (a ， b \in R)$ 有且仅有7个不同实数根，则 $a + b =$ .

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14. 若曲线 $y = (x - a) e^{x} (a > 0)$ 有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为.

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三、解答题

15. 某市随着东部新城迅猛发展，从老城区到新城区的道路交通压力变大.某高中数学建模小组调查了新城上班族 $S$ 从居住地到工作地的平均用时，上班族 $S$ 中的成员仅以公交或自驾的方式通勤，分析显示：当 $S$ 中 $x %$ （ $0 < x < 100$ ）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间与 $x$ 满足函数关系为：
$f (x) = {\begin{cases} 30 ， 0 < x ≤ 30 \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， 30 < x < 100 \end{cases}$ （单位：分钟）.
而公交群体的人均通勤时间不受 $x$ 影响，恒为40分钟.

(1)、当 $x$ 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)、求新城上班族 $S$ 的人均通勤时间 $g (x)$ 的表达式，讨论 $g (x)$ 的单调性，并说明其实际意义.

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16. 已知a ， b为常数，且 $a \neq 0$ ， $f (x) = a x^{2} + b x$ ， $f (2) = 0$ .

(1)、若方程 $f (x) - x = 0$ 有唯一实数根，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \geq 2 ， a > 0$ 时，不等式 $f (x) \geq 2 - a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = | x - t | + | x + t |$ ， $t \in R$ ．

(1)、若 $t = 1$ ，求不等式 $f (x) \leq 8 - x^{2}$ 的解集；

(2)、已知 $m + n = 4$ ，若对任意 $x ∈ R$ ，都存在 $m > 0$ ， $n > 0$ 使得 $f (x) = \frac{4 m^{2} + n}{m n}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x - 2 |$ ， $g (x) = | 2 x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若a>0，b>0，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，不等式 $4 f (x) \leq \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 b^{2}}$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x^{2} + a |$ （ $x ∈ R$ ）．

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq 4$ ；

(2)、若对于任意 $x \in [1 ， 2]$ ，都有 $f (x) \leq 4$ ，求实数a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = 3 l n x + a x^{2} - 4 x + b (a > 0 ， b \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，方程 $f (x) = 0$ 有三个不相等的实数根，分别记为 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ .
①求 $b$ 的取值范围；
②证明 $| x_{i} - x_{j} | < 4 (i = 1 ， 2 ， 3 ； j = 1 ， 2 ， 3)$ .

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