2025高考一轮复习（人教A版）第4讲基本不等式

试卷更新日期：2024-08-29 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $a, b \in R$ ．则“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x}{2} \cdot {log}_{2} \frac{x}{8}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ．），则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{9}{x_{2}}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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3. 若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1．则下列四个数中最大的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、a²+b² C、2ab D、a

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4. 数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a$ ， $b$ 为非零常数， $e = 2.71828 ⋯$ ）来表示，当 $f (x)$ 取到最小值为2时，下列说法正确的是（）

A、此时 $x = l n a$ B、此时 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值为2 C、此时 $a + b$ 的最小值为2 D、此时 $l n a l n b$ 的最小值为0

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5. 在 $Δ A B C$ 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + 2 y \vec{A C} (x > 0, y > 0)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、8 D、9

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{4} = b_{4} = 3$ ，则( )

A、 $b_{1} b_{7} ⩾ a_{1} a_{7}$ B、 $b_{1} + b_{7} ⩾ a_{1} + a_{7}$ C、 $b_{1} b_{7} ⩽ a_{1} a_{7}$ D、 $b_{1} + b_{7} ⩽ a_{1} + a_{7}$

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7. 下列函数对于任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 成立的是（）

A、 $f (x) = l n x$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$

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8. 已知 $△ A B C$ 中，a､b､c为角A､B､C的对边， $a c o s B + b c o s A = c s i n C$ ，若 $∠ B A C$ 与 $∠ A B C$ 的内角平分线交于点I， $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\sqrt{2}$ ，则 $△ I A B$ 面积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $4 \sqrt{2} - 4$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为．

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10. 设 $a, b, c > 0$ ，则 $\frac{a + 2 \sqrt{a b} + 4 \sqrt{a c}}{a + b + 4 c}$ 的最大值为.

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $4 x^{2} + 9 y^{2} + 6 x y - 3 = 0$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最大值为．

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12. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + 2 c^{2} = 3 a^{2}$ ，则 $c o s A$ 的最小值为.

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13. 若实数 $a > 1 > b > 0$ ，且 $a^{2} + 2 b = b^{2} + 2 a$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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14. 如图，在棱长均相等的斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}, \vec{B M} = λ \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{C N} = μ \bar{C C_{1}}$ ，若存在 $λ \in (0, 1), μ \in (0, 1)$ ，使 $\vec{A M} \cdot \vec{B N} = 0$ 成立，则 $λ + μ$ 的最小值为.

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三、解答题

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(sin A - \sqrt{3} sin B) a = (c - b) (sin C + sin B)$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若边 $c = 2$ ，边 $A B$ 的中点为 $D$ ，求中线 $C D$ 长的最大值.

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16. 函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 零点个数．

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17. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}}, b c o s C + c c o s B$ $= - 2 a c o s A$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 已知 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值，并求出此时角 $B$ ，角 $C$ 的大小.

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19. 已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 3 - 2 | x |$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + | x - 5 |$ 的最小值为 $m$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = m$ ，证明： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq 4$ .

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20. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且b是a ， c的等比中项．

(1)、求B的最大值：

(2)、若C为钝角，求 $\frac{a c o s B + b c o s A}{b c o s C + c c o s B}$ 的取值范围．

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2025高考一轮复习（人教A版）第4讲 基本不等式

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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