2025高考一轮复习（人教A版）第3讲等式与不等式性质

试卷更新日期：2024-08-29 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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2. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，下列结论中正确的是( )

A、若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$ C、若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} - a_{1}) (a_{4} - a_{1}) < 0$

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3. $已知 x, y \in R, 且 x > y, 则$ （）

A、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} < 0$ B、 $t a n x - t a n y > 0$ C、 $（ \frac{1}{e} ）_{}^{x} - (\frac{1}{e})_{}^{y} < 0$ D、 $l n | x | - l n | y | > 0$

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4. 已知正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a l n b = b e^{c} = c a$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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5. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位： $m^{2}$ )分别为x ， y ， z ，且x>y>z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/ $m^{2}$ )分别为a ， b ， c ，且a<b<c在不同的方案中，最低的总费用单位：元是( )

A、Ax+by+cz B、az+by+cx C、ay+bz+cx D、ay+bx+cz

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下面结论正确的是( )

A、若 $a b = 4$ ，则 $a + b \leq 4$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a + 2 b = 2$ ，则 $2^{a} + 4^{b}$ 有最小值4 D、若 $a > b > m > 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$

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7. 定义 $m a x {a, b} = {\begin{array}{l} a, a \geq b \\ b, a < b \end{array}, m i n {a, b} = {\begin{array}{l} b, a \geq b \\ a, a < b \end{array}$ ，对于任意实数 $x > 0, y > 0$ ，则 $m i n {m a x {2 x, 3 y, \frac{1}{4 x^{2}} + \frac{1}{9 y^{2}}}}$ 的值是（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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8. 已知a=sin0.5， $b = 3^{0.5}$ ， c= $\log_{0.3} 0.5$ ，则a ， b ， c的大小关系是( )

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

9. 已知有三个条件： $① a c^{2} > b c^{2} ； ② \frac{a}{c} > \frac{b}{c} ； ③ a^{2} > b^{2}$ ，其中能成为 $a > b$ 的充分条件的是 $. ($ 填序号 $)$

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10. 已知函数 $f (x) = | \frac{2^{x + 1}}{2^{2} + 2^{- x}} - 1 - a |$ ，存在实数 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ 使得 $\sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) = f (x_{n})$ 成立，若正整数 $n$ 的最大值为8，则正实数 $a$ 的取值范围是．

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11. 下列论断中：① $\frac{1}{a} > \frac{1}{| b |}$ ；② $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ ；③ $b + 1 > | a |$ ；④ $b - 1 > a^{2}$ ；⑤ $b^{3} > (a - 1)^{3}$ ．
以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：（作答时，请按“序号 $\Rightarrow$ 序号”的格式书写）．

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12. 已知 $π < α + β < \frac{4 π}{3}$ ， $- π < α - β < - \frac{π}{3}$ ，求 $2 α - β$ 的取值范围为.

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13. 已知 $- 1 \leq a + b \leq 1 ， - 1 \leq a - b \leq 1$ ，求 $2 a + 3 b$ 的取值范围．

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14. 以 $m a x M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．设 $0 < a < b < c < 1$ ，已知 $b \geq 2 a$ 或 $a + b \leq 1$ ，则 $m a x {b - a ， c - b ， 1 - c}$ 的最小值为．

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三、解答题

15.

(1)、已知﹣1＜x＜4，2＜y＜3，求x﹣y的取值范围；

(2)、比较（x﹣1）（x²+x+1）与（x+1）（x²﹣x+1）的大小，其中x∈R ．

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16. 设函数 $f (x) = 3 | x + 1 | + | 2 x - 1 |$ 的最小值为 $m$ ．
（Ⅰ）求 $m$ 的值；

（Ⅱ）若 $a$ ， $b \in (0, + \infty)$ ，证明： $(\frac{1}{a} + 1 + \frac{b^{2}}{a}) (\frac{1}{b} + 1 + \frac{a^{2}}{b}) \geq m^{2}$ ．

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17. 已知 $a ， b ， c ， d \in R$

(1)、证明： $(a^{2} - b^{2}) (c^{2} - d^{2}) ⩽ (a c - b d)^{2}$ ；

(2)、已知 $x ， y \in R$ ， $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ ，求 $| \sqrt{3} x + 2 y |$ 的最小值，以及取得最小值时的 $x$ ， $y$ 的值．

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18. 设 $a ， b ， c > 0$ ， $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3$ ．

(1)、用 $h$ 表示 $a b$ ， $b c$ ， $c a$ 的最小值，证明： $h \leq 1$ ；

(2)、证明： $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a \leq 3$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{x - 1}{x}$ ， $x > 1$ ，证明：

(1)、 $f (x) > 0;$

(2)、 $s i n \frac{1}{x} < l n x - l n (x - 1);$

(3)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} s i n \frac{1}{n + i} < l n 2 .$

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} \leq \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{2},$ 则称数列 ${a_{n}}$ 为下凸数列.

(1)、证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

(2)、设 $c_{n} = d_{n} + e_{n}$ ，其中 ${d_{n}}$ ， ${e_{n}}$ 分别是公比为 $q_{1}$ ， $q_{2}$ 的两个正项等比数列，且 $q_{1} \neq q_{2}$ ，证明： ${c_{n}}$ 是下凸数列且不是等比数列；

(3)、若正项下凸数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} \leq 1$ ，求证： $a_{1} + \frac{2 (1 - n)}{n} \leq a_{n} \leq a_{1}$ .

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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