2025高考一轮复习（人教A版）第2讲常用逻辑用语

试卷更新日期：2024-08-29 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $p : - 3 < k < 0, q$ ：不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 的解集为 $R$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知复数 $z = \frac{a + 3 i}{i}$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），则“ $a > 0$ ”是“ $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $α$ ， $β$ 是两个平面，m ， n是两条直线，且 $α ⊥ β \cdot m \subset α$ ， $n \subset β$ .则“ $m ⊥ n$ ”是" $m ⊥ β$ ”的( )

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的无穷等比数列，则“ ${a_{n}}$ 为递增数列”是“存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时， $a_{n} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ ，则“ $a_{n - 2} + a_{n + 2} = 2 a_{n} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - a x + 1$ ，则“ $a < 2$ ”是“ $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 命题P： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 的平均数与中位数相等；命题Q： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 是等差数列，则P是Q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、填空题

9. 已知 $p ： - 3 \leq x \leq 1$ ， $q ： x \leq a$ （a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p ，则实数a的取值范围是.

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10. 命题“ $\forall x > 0$ ， $t a n x > x$ ”的否定为．

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11. 命题“ $\exists x \in Z$ ， $x^{2} = 2 x$ ”的否定是.

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12. 命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， {x_{0}}^{2} - m x_{0} + m + 3 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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13. 已知命题 $p ∶ a = 2$ ，命题 $q$ ：函数 $f (x) = x (x - a)^{2}$ 有极小值点2，则 $p$ 是 $q$ 的条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.

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14. 命题 $P ： f (x) = 2 a x^{2} + \frac{8}{3} x + 1 (a > 0)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 单调增函数，命题 $Q ： g (x) = {\begin{array}{l} a x - 2 ， x \leq 2 \\ \frac{a - 2}{x} ， x > 2 \end{array}$ （ $a \in R$ ）在R上为增函数，则命题P是命题Q的．（在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）

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三、解答题

15. 设 $a ， b ， c ， d$ 均为正数，且 $a + b = c + d$ ，证明：
（Ⅰ）若 $a b > c d$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ ；

（Ⅱ） $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ 是 $| a - b | < | c - d |$ 的充要条件．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 - | x |$ ，无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式（不必证明）；

(2)、若 $a_{1} > 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 的值；问 ${a_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、证明： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $⋯$ ， $a_{n}$ ， $⋯$ 成等差数列的充要条件是 $a_{1} = 1$ .

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17. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $m (m > 1)$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，证明： $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上有最大值的充要条件是 $1 < m < 8$ .

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18. 对于数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ ，其中 $y_{n} \in Z$ ，若对任意正整数 $n$ 都有 $| x_{n} - y_{n} | < \frac{1}{2}$ ，则称数列 ${y_{n}}$ 为数列 ${x_{n}}$ 的“接近数列”.已知数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“接近数列”，设 $A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ， $B_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ .
（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ， $l g 7 \approx 0.845$ ）

(1)、若 $a_{n} = n + \frac{1}{4}$ （ $n$ 是正整数），求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ 的值；

(2)、若 $a_{n} = \frac{3}{2} + {(- \frac{9}{10})}^{n + 1}$ （ $n$ 是正整数），是否存在 $k$ （ $k$ 是正整数），使得 $A_{k} < B_{k}$ ？如果存在，请求出 $k$ 的最小值；如果不存在，请说明理由；

(3)、若 ${a_{n}}$ 为无穷等差数列，公差为 $d$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 为等差数列的充要条件是 $d \in Z$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 2$ ．
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．

① $a_{3} = 3 a_{1}$ ；② ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列；③ $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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2025高考一轮复习（人教A版）第2讲 常用逻辑用语

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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