2025高考一轮复习（人教A版）第1讲集合

试卷更新日期：2024-08-29 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {x| (x - 3) (x + 1) > 0}$ ， $B = \{x| |x - 1| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$

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2. 已知集合 $M = {x \in Z | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $N = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $[- 1 ， 4]$

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3. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $C = A ∩ B$ ，则集合 $C$ 的子集个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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4. 已知集合 $P = {x | x_{}^{2} \leq 1}, 集合 M = {a}, 若 P ∩ M = M$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] ∪ [1, + \infty)$

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5. 集合A={x|2≤x<4}，B={x|x-1≥8-2x}，则AUB=（）

A、[2，4] B、(3，4) C、[2，+∞） D、[3，+∞）

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6. 集合 $M = {x | (x - 1) (x + 2) > 0}$ ，若 $M ∩ N = \emptyset$ ，则集合 $N$ 可以为（）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 1, 2}$

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7. 若集合 $A = {x | \sqrt{x} \leq a}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, \sqrt{3}]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(- \infty, \sqrt{3}]$

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8. 如图，集合A ， B均为U的子集， $(∁_{U} A) ∩ (∁_{U} B)$ 表示的区域为（）

A、I B、Ⅱ C、Ⅲ D、IV

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二、填空题

9. 设集合 $A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | \frac{5}{4} ⩽ x < 4}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为..

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10. 已知集合 $A = {x ∣ x ⩾ a}$ ， $B = {x | \frac{x + 1}{x - 1} ⩾ 2}$ ，若 $A \cap B \neq \emptyset$ 且 $A \cup B \neq A$ ，则实数a的取值范围是.

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11. 设集合 $A = {x ∣ 1 ⩽ x^{2} ⩽ a^{2} - 6}, B = {x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ a - 1}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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12. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $N = {x | x^{2} - a x < 0, x \in Z}$ ，若集合 $M ∩ N$ 恰有两个元素，则实数a的取值范围是.

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13. 已知集合 $A = {x ∣ 3$ ≤ $2 x - 19}, B = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | x + a - 1 ⩾ 0}$ ，若 $A ∪ B = {x | x > - 2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

15. 对于给定的一个 $n$ 位自然数 $x = \bar{a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}}$ （其中 $a_{i} \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ， $i = 1, 2, ⋯, n$ ），称集合 $M_{x}$ 为自然数 $x$ 的子列集合，定义如下： $M_{x} =$ { $\bar{b_{1} b_{2} ⋯ b_{m}} | \exists i_{1}, i_{2}, ⋯ i_{m} \in N^{*}$ 且 $i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{m} \leq n$ ，使得 $b_{k} = a_{i_{k}} (k = 1, 2, ⋯ m)$ }，比如：当 $x = \bar{001}$ 时， $M_{x} = {\bar{0}, \bar{1}, \bar{00}, \bar{01}, \bar{001}}$ .

(1)、当 $x = \bar{0012}$ 时，写出集合 $M_{x}$ ；

(2)、有限集合 $A$ 的元素个数称为集合 $A$ 的基数，一般用符号 $| A |$ 来表示.
（ⅰ）已知 $x = \bar{00111}, y = \bar{11100}, z = \bar{10101}$ ，试比较 $| M_{x} |, | M_{y} |, | M_{z} |$ 大小关系；
（ⅱ）记函数 $τ (x) = \bar{{a^{'}}_{1} {a^{'}}_{2} ⋯ {a^{'}}_{n}}$ （其中 $({a^{'}}_{1}, {a^{'}}_{2}, ⋯, {a^{'}}_{n})$ 为 $(a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n})$ 这 $n$ 个数的一种顺序变换），并将能使 $| M_{τ (x)} |$ 取到最小值的 $τ (x)$ 记为 $τ^{*} (x)$ .当 $x = \bar{202420242024}$ 时，求 $| M_{τ (x)} |$ 的最小值，并写出所有满足条件的 $τ^{*} (x)$ .

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16. 设数集 $S$ 满足：①任意 $x \in S$ ，有 $x ⩾ 0$ ；②任意 $x, y \in S$ （ $x, y$ 可以相等），有 $x + y \in S$ 或 $| x - y | \in S$ ，则称数集 $S$ 具有性质 $P$ .

(1)、判断数集 $A = {0, 1, 2, 4}$ 和 $B = {0, 2, 4}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若数集 $C = {a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}}$ 且 $a_{i} < a_{i + 1} (i = 1, 2, ⋯, n - 1)$ 具有性质 $P$ .
（i）当 $n = 5$ 时，求证： $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}$ 是等差数列；
（ii）当 $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}$ 不是等差数列时，求 $n$ 的最大值.

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17. 欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合 $X_{n} = {1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1}$ ，欧拉函数 $φ (n)$ 的值等于集合 $X_{n}$ 中与n互质的正整数的个数；记 $M (x, y)$ 表示x除以y的余数（x和y均为正整数），

(1)、求 $φ (6)$ 和 $φ (15)$ ；

(2)、现有三个素数p ， q ， $e (p < q < e)$ ， $n = p q$ ，存在正整数d满足 $M (d e, φ (n)) = 1$ ；已知对素数a和 $x \in X_{a}$ ，均有 $M (x^{a - 1}, a) = 1$ ，证明：若 $x \in X_{n}$ ，则 $x = M ({[M (x^{c}, n)]}^{d}, n)$ ；‘

(3)、设n为两个未知素数的乘积， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 为另两个更大的已知素数，且 $2 e_{1} = 3 e_{2} + 1$ ；又 $c_{1} = M (x^{e_{1}}, n)$ ， $c_{2} = M (x^{e_{2}}, n)$ ， $x \in X_{n}$ ，试用 $c_{1}$ ， $c_{2}$ 和n求出x的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ，记集合 $T = {S (i ， j) | S (i ， j) = a_{i} + a_{i + 1} + . . . + a_{j} ， 1 \leq i < j ， i ， j \in N^{*}}$ .

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 为 $1 ， 2 ， 3$ ，写出集合 $T$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，是否存在 $i ， j \in N^{*}$ ，使得 $S (i ， j) = 512$ ？若存在，求出一组符合条件的 $i ， j$ ；若不存在，说明理由；

(3)、若 $a_{n} = n$ ，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 $b_{1} ， b_{2} ， . . . ， b_{m} ， . . .$ ，若 $b_{m} \leq 2024$ ，求 $m$ 的最大值．

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19. 已知集合 $S_{n} = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 2 n} (n \in N * ， n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $A$ ．若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a$ ， $b$ ， $c$ ，使得 $a + b$ ， $b + c$ ， $c + a$ 均属于 $A$ ，则称集合 $A$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”．

(1)、试判断集合 $A_{1} = {3 ， 4 ， 5}$ ， $A_{2} = {3 ， 5 ， 7}$ 是否为集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）

(2)、如果一个集合中含有三个元素 $x$ ， $y$ ， $z$ ，同时满足① $x < y < z$ ， ② $x + y > z$ ， ③ $x + y + z$ 为偶数．那么称该集合具有性质 $P$ ．对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $A$ ，证明：集合 $A$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”的充要条件是集合 $A$ 具有性质 $P$ ；

(3)、若 $S_{n} (n \geq 4)$ 的任意含有 $m$ 个元素的子集都是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”，求 $m$ 的最小值．

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20. 设集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}}$ ，其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 是正整数，记 $S_{A} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ．对于 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (1 \leq i < j \leq 4)$ ，若存在整数k，满足 $k (a_{i} + a_{j}) = S_{A}$ ，则称 $a_{i} + a_{j}$ 整除 $S_{A}$ ，设 $n_{A}$ 是满足 $a_{i} + a_{j}$ 整除 $S_{A}$ 的数对 $(i ， j) (i < j)$ 的个数．

(1)、若 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ， $B = {1 ， 5 ， 7 ， 11}$ ，写出 $n_{A}$ ， $n_{B}$ 的值；

(2)、求 $n_{A}$ 的最大值；

(3)、设A中最小的元素为a，求使得 $n_{A}$ 取到最大值时的所有集合A．

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21. 已知数集 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}} (1 = a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} ， n \geq 2)$ 具有性质P：对任意的 $k (2 \leq k \leq n) ， \exists i ， j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ，使得 $a_{k} = a_{i} + a_{j}$ 成立.

(1)、分别判断数集 ${1 ， 3 ， 5}$ 与 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2)、已知 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证： $2 a_{n} - 1 \leq S_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n} = 36$ ，求数集A中所有元素的和的最小值.

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