广东省九师联盟2024届高三上学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-01 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{y ∣ y = ln (x^{2} + e)\}, B = \{x ∣ x = \sqrt{4 - y^{2}}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[1, 2]$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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2. 已知复数 $z = 2 + i$ ，则 $|\frac{z}{\bar{z} - 1}| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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3. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{e_{1}} - t (\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}})| (t \in R)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{4}$

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4. 从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学 $A, B, C, D, E, F$ 慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求 $A, B$ 相邻， $C$ 在 $D$ 的左边，则不同的站法共有（）

A、480种 B、240种 C、120种 D、60种

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5. 已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, π)$ 有且仅有2个极值点，且在 $(\frac{π}{3}, \frac{11 π}{24})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{5}{2}, \frac{17}{6}]$ B、 $[\frac{5}{2}, 4]$ C、 $[2, \frac{17}{6}]$ D、 $[2, \frac{8}{3}]$

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6. 设 $a = \frac{2}{3}, b = ln 2, c = sin 1$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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7. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, \frac{a_{n + 2} + 2 a_{n}}{3 a_{n + 1}} = 1, a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ．对任意 $n \in N^{*}, (2 + λ) (S_{n} + 1) {log}_{2} a_{2 n} > {log}_{2}^{2} a_{n + 1}$ 恒成立，则（）

A、 $λ > 0$ B、 $λ > - \frac{1}{2}$ C、 $λ > - 1$ D、 $λ > - \frac{3}{2}$

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8. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点，线段 $M N$ 的中点为 $E$ ，过 $E$ 作线段 $M N$ 的中垂线交 $x$ 轴于点 $R$ ，过 $M, N$ 两点分别作 $C$ 的准线的垂线，垂足分别为 $A, B$ ．线段 $A B$ 的中点为 $P$ ，则 $\frac{|P F|}{|E R|} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某市高三一模物理成绩 $X$ 近似服从正态分布 $X ～ N (70, σ^{2}) (σ > 0)$ ，且 $P (X \geq 80) = 0.2$ ，则（）

A、 $P (X < 80) = 0.8$ B、 $P (60 < X < 80) = 0.6$ C、 $P (X \leq 60) = 0.2$ D、 $P (X > 60) = 0.7$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 间的折线距离 $d (M, N) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，已知 $A (a, b), B (1, 1)$ ，记 $s = a^{2} + b^{2} + 2 a + 4 b$ ，则（）

A、若 $d (A, B) = 1$ ，则 $s$ 有最小值8 B、若 $d (A, B) = 1$ ，则A点轨迹是一个正方形 C、若 $d (A, B) \leq 1$ ，则 $s$ 有最大值15 D、若 $d (A, B) \leq 1$ ，则点A的轨迹所构成区域的面积为 $π$

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11. 已知 $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径， $S A = 4$ ， $S O = 2 \sqrt{3}$ ，点 $B$ 为圆 $O$ 上异于 $A, C$ 的一点， $M$ 为线段 $S C$ 上的动点（异于端点），则（）

A、直线 $S B$ 与平面 $S A M$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{6}$ B、圆锥 $S O$ 内切球的体积为 $\frac{32}{125} \sqrt{3} π$ C、棱长为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 的正四面体可以放在圆锥 $S O$ 内 D、当 $M$ 为 $S C$ 的中点时，满足 $S B ⊥ A M$ 的点 $B$ 有2个

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12. 已知 ${log}_{a} b > 0$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $a > b$ ，且 $e^{a} \cdot b > e^{b} \cdot a$ ，则（）

A、 $ln b - a < - 1$ B、 $b^{a - 1} > a^{b - 1}$ C、 $(a + 1) ln (b + 1) > (b + 1) ln (a + 1)$ D、 ${log}_{a + 1} a > {log}_{b + 1} b$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长 $10 m$ ，下底边长 $16 m$ ，侧棱长 $8 m$ ，则此四棱台的体积为 $m^{3}$ ．

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14. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $sin (α - β) = 2 sin β cos α$ ，则 $α - β$ 的最大值为．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆上不与顶点重合的任一点， $C$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心， $O$ 为坐标原点，则直线 $P C$ 与 $O P$ 的斜率之比 $\frac{k_{P C}}{k_{O P}} =$ ．（用 $a, b$ 表示）

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16. 若不等式xe^x－e^x ln x＞mx－e^x恒成立，则正整数m的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b {sin}^{2} \frac{A + B}{2} = \sqrt{3} c sin B$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若边 $A B$ 上的高 $C D = 2$ ，当 $△ A B C$ 的面积取最小值时，求 $△ A B C$ 内切圆的面积．

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1, S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n} = \frac{2}{S_{n} + S_{n - 1}} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}^{2} + S_{n + 1}^{2}}{S_{n}^{4} \cdot S_{n + 1}^{4}}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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19. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、

(1)、已知报名者 $1, 2, 3$ 组人数之比为 $3 : 3 : 4$ ，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设 $1, 2, 3$ 组中的每一个人答对某道题的概率分别为 $0.90, 0.95, 0.90$ ，从中任选一人，求此人答对该题的概率；

(2)、从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记 $X$ 为其中女性的人数，求 $X$ 的数学期望．

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20. 如图1，直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{1}{2} C D = 2, A D = 2, A D ⊥ C D, A B // C D$ ，将直角梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 旋转一周得到如图2的圆台， $E F$ 为圆台的母线，且 $C F = 4, M$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、在线段 $C F$ 上是否存在一点 $N$ ，使 $M N //$ 平面 $A E F D$ ？说明理由；

(2)、若 $P$ 为线段 $C D$ 的中点，求平面 $A E F D$ 与平面 $M F P$ 夹角的余弦值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 8$ ，过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，延长 $F_{2} M$ 交另一条渐近线于点 $N$ ，且 $|F_{2} M| = |M N|$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、如图，过 $A (6, 0)$ 作直线 $l$ （ $l$ 不与 $x$ 轴重合）与曲线 $C$ 的两支交于 $P, Q$ 两点，直线 $F_{1} P, F_{1} Q$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $S, T$ ，求证：直线 $S T$ 经过定点．

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22. 已知 $f (x) = a x e^{x} - x - ln x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{e}$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, t] (t > 0)$ 上的最小值 $h (t)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有2个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $e^{x_{1} + x_{2}} < \frac{1}{a^{2} x_{1} x_{2}}$ ．

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