贵州省遵义市遵义市四城区联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-14 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列与 $999^{°}$ 角终边相同的角为（）

A、 $- 91^{°}$ B、 $91^{°}$ C、 $- 81^{°}$ D、 $81^{°}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 5)$ ， $\vec{b} = (4, λ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{8}{5}$ C、10 D、 $- 10$

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3. 已知集合 $M = \{x |1 < x < a\}$ ， $N = \{x |2 < x < 6\}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a |a \geq 6\}$ B、 $\{a |a > 6\}$ C、 $\{a |a \leq 6\}$ D、 $\{a |a < 6\}$

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4. 某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（）

A、375支 B、350支 C、125支 D、500支

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5. 设 $a = 2^{0.2}$ ， $b = \log_{0.2} 2$ ， $c = \sin \frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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6. 函数 $f (x) = 2 x + 2^{x} - 40$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(5, 6)$

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7. 已知 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin α}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \lg {(3 x + 1)}^{k}$ ，若不等式 $f (x) < 1$ 在 $x \in (0, 33)$ 上恒成立，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ C、 $(0, 2)$ D、 $[\frac{1}{2}, 2)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列关于平面向量的说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是共线的单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线 D、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ，则点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 必在同一条直线上

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10. 若角 $α$ 的终边在第三象限，则 $\frac{\sin \frac{α}{2}}{|\sin \frac{α}{2}|} + \frac{2 \cos \frac{α}{2}}{|\cos \frac{α}{2}|} - \frac{3 \tan \frac{α}{2}}{|\tan \frac{α}{2}|}$ 的值可能为（）

A、0 B、2 C、4 D、 $- 4$

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中，设 $\vec{A Q} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，其中 $λ, μ \in [0, 1]$ ，则下列命题是真命题的是（）

A、当 $λ = 1$ 时，点 $Q$ 在线段 $D C$ 上 B、当点 $Q$ 在线段 $A C$ 上时， $λ = μ$ C、当 $λ + μ = 1$ 时，点 $Q$ 在对角线 $B D$ 上 D、当 $3 λ + μ = \frac{1}{2}$ 时，点 $Q$ 在某线段上运动

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} - 7 {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{b} = k {\vec{e}}_{1} + 3 {\vec{e}}_{2}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $k =$ ．

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13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\sqrt{6}, m) (m \neq 0)$ ，且 $\sin α = \frac{1}{m}$ ，则 $m^{2} =$ ．

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14. 某班成立了 $A$ ， $B$ 两个数学兴趣小组， $A$ 组有5名学生， $B$ 组有10名学生．在某次测验中， $A$ 组学生的成绩如图所示， $B$ 组学生的平均成绩为117分，方差为14．若从 $A$ 组学生中随机抽取2人作为兴趣小组组长，则这2个组长的成绩均在120分以上的概率为；若将 $A$ 组学生、 $B$ 组学生该次测验的成绩混合在一起，产生一组新的数据，则这组新数据的方差为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin (α - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π + α) \sin (2 π - α)}{\sin (7 π - α) \cos (π + α)}$ 的值．

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16. 某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按 $[3, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 11), [11, 13]$ 分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)、估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；

(2)、估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；

(3)、以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在 $[3, 5)$ 内的概率．

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17. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.

(1)、若 $O D = 2 O A = 80$ 厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边 $C D$ 的长度；

(2)、若 $A D = 2 O A$ .求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.

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18. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 3 \vec{A D}, \vec{D C} = 5 \vec{D E}, A B ⊥ B C, B E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，点 $M$ 在线段 $A D$ 上.

(1)、用 $\vec{B A}$ 和 $\vec{B C}$ 表示 $\vec{B D}, \vec{B E}$ ；

(2)、设 $\vec{B F} = λ \vec{B E}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、设 $\vec{B D} = x \vec{A C} + y \vec{B M}$ ，证明： $x y \leq \frac{4}{9}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 a x + 3) (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2 a - 1, + \infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + 1 - \log_{2} (x + 4)$ 在 $(\frac{1}{2}, 2)$ 上恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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