【培优版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习

试卷更新日期：2024-08-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 第 $24$ 届国际数学家大会会徽的设计基础是 $1700$ 多年前中国古代数学家赵爽的“弦图” $.$ 如图，在由四个全等的直角三角形 $(△ D A E, △ A B F, △ B C G, △ C D H)$ 和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ 中， $∠ A B F > ∠ B A F$ ，连接 $B E .$ 若正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $1$ ： $n$ ，且有 $A F \cdot B F = E F^{2}$ ，则 $n$ 的值为( )

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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2. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为4，点D ， E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $A E = 2 B D$ ．以 $D E$ 为边向右作等边 $△ D E F$ ，则 $A F + B F$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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3. 在Rt $△ A B C$ 中， $∠ B =$ $9 0^{°}, A B = 8, A C = 10$ .以 $A$ 为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点 $P$ .连接AP，并延长AP交BC于点 $D$ .过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，垂足为 $E$ ，则DE的长度为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、2 D、1

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4. 已知a、b为两正数，且 $a + b = 12$ ，则代数式 $\sqrt{4 + a^{2}} + \sqrt{9 + b^{2}}$ 最小值为（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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5. 如图，圆柱底面半径为 $\frac{4}{π} c m$ ，高为 $18 c m$ ，点 $A$ 、 $B$ 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 $A$ 、 $B$ 在同一母线上，用一根棉线从 $A$ 点顺着圆柱侧面绕 $3$ 圈到 $B$ 点，则这根棉线的长度最短为（）

A、 $24 c m$ B、 $30 c m$ C、 $2 \sqrt{21} c m$ D、 $4 \sqrt{97} c m$

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D 、 C E$ 是 $△ A B C$ 的两条高，连接 $D E$ ，分别取 $B C$ ， $D E$ 的中点 $M ， N$ ，则 $M N$ 的长是（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{21}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{24}}{2}$

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二、填空题

7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ，当 $B^{'} D$ 平行于 $△ A B C$ 的一条边时， $B D$ 的长为．

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C ， ∠ A C B = 90 ° ， A B = 8$ ，点D是边AB上的一个动点，连接CD ，过点C作 $C E ⊥ C D$ ，使 $C E = C D$ ，连接DE ，点F是DE的中点，连接CF并延长，交AB边所在直线于点G ，若 $B G = 2$ ，则AD的长为．

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9. 如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形 $A B C D$ ，正方形 $E F G H$ ，正方形 $M N K T$ 的面积分別为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，若正方形 $E F G H$ 的边长为 $\sqrt{6}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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10. 探究函数 $y = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 1} (x \geq 0)$ 的最小值.小聪同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB=4，作AC⊥AB于A. BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，点E在AB上，设AE=x，则BE=4-x，于是， $\sqrt{x^{2} + 1} = C E, \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 1} = D E,$ 因此，可求得y=CE +DE 的最小值为，已知： $y = \sqrt{{(x + 5)}^{2} + 5^{2}} - \sqrt{x^{2} + 3^{3}} (x \geq 0)$ 则y的最大值是.

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三、解答题

11. 如图，C为线段 $B D$ 上的一个动点，分别过点B ， D在 $B D$ 两侧作 $B A ⊥ B D ， D E ⊥ B D$ ，连接 $A C ， C E$ ．已知 $A B = 5 ， D E = 9 ， B D = 8$ ，设 $B C = x$ ．

(1)、用含 $x$ 的代数式表示 $A C + C E$ 的长．

(2)、当点C满足什么条件时， $A C + C E$ 的值最小？

(3)、根据（2）中的结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值．

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12. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，P是等边 $△ A B C$ 内一点，且 $P A = 4$ ， $P B = 3$ ， $P C = 5$ ， $P A = P D = A D$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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13. 已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD ，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE.

(1)、如图1，点D在线段BC上，连接CE ，若AB＝6，且CE＝2，求线段AD的长；
图1

(2)、如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F ，求证：CF＝AF＋CD；
图2

(3)、如图3，若AB＝8，点D在射线BC上运动，取AC中点G ，连接EG ，请直接写出EG的最小值．
图3

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14. 在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ，点D是射线 $C B$ 上一点，连接 $A D$ ．

(1)、如图1，当点D在线段 $C B$ 上时，在线段 $A C$ 上取一点E，使得 $C E = B D$ ，求证： $A D = B E$ ；

(2)、如图2，当点D在 $C B$ 延长线上时，将线段 $A D$ 绕点A逆时针旋转角度 $θ (0 ° < θ < 180 °)$ 得到线段 $A F$ ，连接 $B F$ ， $C F$ ．
①当 $A F$ 位于 $∠ B A C$ 内部，且 $∠ D A F$ 恰好被 $A B$ 平分时，若 $B D = 2$ ，求 $C F$ 的长度；

②如图3，当 $θ = 120 °$ 时，记线段 $B F$ 与线段 $A C$ 的交点为G，猜想 $D C$ 与 $A G$ 的数量关系，并说明理由．

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四、实践探究题

15. 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证 $.$ 网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．

(1)、如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为 $1$ ．
$①$ 如图 $1$ ，点 $A$ 、 $B$ 在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段 $A B$ 的中点 $O ($ 不写画法，保留画图痕迹 $)$ ；
$②$ 如图 $2$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在格点上，仅用无刻度的直尺找出 $∠ A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $P$ ，并写出画图的步骤或依据；

(2)、如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，以 $A C$ 为边在 $A C$ 的左侧作等腰直角 $△ A C D$ ，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长．

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16. 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动， $△ A C D$ 和 $△ B C E$ 是两个等边三角形纸片，其中， $A C = 5 c m$ ， $B C = 2 c m$ ．
【解决问题】

(1)、勤奋小组将 $△ A C D$ 和 $△ B C E$ 按图1所示的方式摆放（点A ， C ， B在同一条直线上），连接AE ， BD ，请直接写出AE、BD之间的数量关系．

(2)、如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将 $△ B C E$ 绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、【拓展延伸】
如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将 $△ B C E$ 沿CD方向平移acm得到 $△ B^{'} C^{'} E^{'}$ ．连接AB' ， B'C ，当 $△ A B^{'} C$ 恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你求出a的值及AB'长度．

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17.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图 $①$ ， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到 $△ A D C$ ≌ $△ E D B$ ，依据是．
A. $S A S$ ； $B . S S S$ ； $C . A A S$ ； $D . H L$
由“三角形的三边关系”可求得 $A D$ 的取值范围是．

(2)、【初步运用】
如图 $②$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ，且 $A E = E F .$ 若 $E F = 4$ ， $E C = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

(3)、【灵活运用】
如图 $③$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F .$ 试猜想线段 $B E . C F . E F$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

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