【提升版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习

试卷更新日期：2024-08-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可（如图1）．如图2．若衣架收拢时，衣架杆 $O A = O B = 18 c m$ ， $∠ A O B = 60 °$ ，则此时A ， B两点之间的距离是（）．

A、 $9 c m$ B、 $16 c m$ C、 $18 c m$ D、 $20 c m$

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2. 如图，直线l₁ $∥$ l₂ ，点C、A分别在l₁、l₂上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l₁于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）

A、10° B、15° C、20° D、30°

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3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）

A、等边对等角 B、垂线段最短 C、等腰三角形“三线合一” D、线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的点，连接 $B E$ 、 $C D$ 相交于点F，若 $D F = E F$ ， $B F = C F$ ，下列等量关系不一定成立的是（）

A、 $B D = C E$ B、 $A D = A E$ C、 $A B = B C$ D、 $A B = A C$

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5. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D ，连接AD ．若AB＝BD ， AB＝4，∠C＝30°，则△ACD的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、13

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 如图，等边△ABC的边长为5，点D ， P ， L分别在边AB ， BC ， CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF ， △PQR ， △LMN ，点F ， R ． N分别在射线DA ， PB ， LC上．
结论Ⅰ：当边DE ， PQ ， LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF ， QR ， MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ和Ⅱ都不对 C、Ⅰ不对Ⅱ对 D、1对Ⅱ不对

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8. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为 $4$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点，且 $B E = C F$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中，过边AC的中点 $E$ 作直线 $D E ⊥ A C$ 交BC于点D．若 $A B = 4, ∠ B = ∠ A D B$ ，则DC的长是.

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10. 已知a、b是 $△ A B C$ 的两边，且满足 $a^{2} - b^{2} = a c - b c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是．

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11. 如图，在△ABC中，AB＝AC ， ∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D ．若BC＝2，则AD的长度为．

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12. 如图， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 与外角 $∠ A C G$ 的平分线 $C D$ 交于点D ，过点D作 $B C$ 的平行线交 $A B$ 于点E ，交 $A C$ 于点 $F$ ， $B E = 10 ， C F = 8$ ，则 $E F =$ ．

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三、解答题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $C D$ 是通过如图的作图痕迹作图而得， $D E / / B C$ ，交 $A C$ 于点E.

(1)、求证： $D E = C E$ .

(2)、若 $∠ C D E = 32 °$ ，求 $∠ A$ 的度数.

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ．

(1)、求证： $∠ B A C = ∠ D A C$ ．

(2)、若 $A B ∥ C D$ ， $A B = 5$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

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15. 在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

(1)、求证：△ABP≌△ACQ；

(2)、请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

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16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

(1)、求∠F的度数；

(2)、若CD=2，求DF的长.

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四、实践探究题

17. 如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在直线BC上，且DE=EC.试求AE与DB长度的大小关系.

(1)、特殊情况，探索结论：
当E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB长度的大小关系，请你直接写出结论：AEDB(填“>”“<”或“=”).

(2)、特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE DB(填“>”“<”或“=”).
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F……(请你补充完成解答过程).

(3)、拓展结论，设计新题：
若△ABC的边长为10，AE=2，求CD的长

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