湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷

试卷更新日期：2024-08-08 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（）

A、240 B、216 C、180 D、108

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2. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = 12$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、22 B、33 C、40 D、44

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3. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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4. 设 $a$ 、 $b$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a / / α$ ，则 $a ⊥ β$

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5. 我们定义一种新函数：形如 $y = |a x^{2} + b x + c|$ （ $a \neq 0$ ， $b^{2} - 4 a c > 0$ ）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数 $y = |x^{2} - 2 x - 3|$ 的图象，如图所示，下列结论错误的是（）

A、图象具有对称性，对称轴是直线 $x = 1$ B、当 $- 1 \leq x \leq 1$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大 C、当 $x = - 1$ 或 $x = 3$ 时，函数最小值是0 D、当 $x = 1$ 时，函数的最大值是4

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6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $|\vec{O A}| = 1$ .给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O H}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{O D} + \vec{O F} = \vec{O E}$ C、 $|\vec{O A} - \vec{O C}| = \frac{1}{2} |\vec{D H}|$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O D}$ 上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{e}$ （其中 $\vec{e}$ 为与 $\vec{O D}$ 同向的单位向量）

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c sin C + 3 b sin A cos C = b sin B$ ，则 $tan A$ 的最大值是（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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8. 设抛物线 $T : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为抛物线上一点且 $A$ 在第一象限， $|A F| = 4$ ，若将直线 $A F$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，且直线 $l$ 与抛物线交于 $C, D$ 两点，则 $|C D| =$ （）

A、 $32 - 16 \sqrt{3}$ B、 $32 - 16 \sqrt{2}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $16 - 8 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{12}) sin (x + \frac{5 π}{12})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、不等式 $f (x) ⩾ 1$ 的解集是 $[k π + \frac{π}{12}, k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$

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10. 若复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m^{2} - 1) i$ $(m \in R)$ ，则下列正确的是（）

A、当 $m = 1$ 或 $m = - 1$ 时， $z$ 为实数 B、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = - 1$ 或 $m = 3$ C、若复数 $z$ 对应的点位于第二象限，则 $1 < m < 3$ D、若复数z对应的点位于直线 $y = 2 x$ 上，则 $z = 12 + 24 i$ 或 $z = 0$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 6 x - 5, x \geq 1, \\ |{log}_{2} (1 - x)|, x < 1, \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有从小到大排列的四个不同的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，若 $M = - \frac{1}{2} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + x_{4}$ ，则（）

A、 $m \in (0, 4)$ B、 $x_{1} \in (- 14, 0)$ C、 $M$ 的最小值为 $\frac{11}{2}$ D、 $M$ 的最大值为 $\frac{93}{8}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知多项式 ${(x - 2)}^{5} + {(x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} =$ .

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13. 已知底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点在同一个球面上， $P D ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $P C = 1$ ， $P D = \sqrt{3}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的体积为．

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14. 已知函数 $h (x) = m a x {\frac{l n x - 1}{x}, - x^{3} + a x - \frac{1}{4}} (x > 0)$ ，其中 $m a x {p, q}$ 表示 $p$ ， $q$ 中的最大值，若函数 $h (x)$ 有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = a + 1$ ， $c = a + 2$ .．
（1）若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（2）是否存在正整数 $a$ ，使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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16. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ B C D = 60^{\circ}, A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，平面 $F B C ⊥$ 平面 $A B C D, E F ∥ A B, F B = F C, E F = 2$ .

(1)、求证： $O E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A E ⊥ F C$ ，点 $Q$ 为 $A E$ 的中点，求二面角 $Q - B C - A$ 的余弦值.

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17. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A_{2} (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的左焦点和左顶点分别为 $F$ 和 $A_{1}$ ，过点 $F$ 的直线与C交于M，N两点，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点P，证明：点P在定直线上．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} - (a + 1) x$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $x_{1}, x_{2}$ ，（ $0 < x_{1} < x_{2}$ ）是函数 $g (x) = f (x) + x$ 的两个极值点，证明： $g (x_{1}) - g (x_{2}) < \frac{a}{2} - \ln a$ 恒成立.

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19. 每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地 $A$ 河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1)、以频率作为概率，试求 $A$ 河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；

(2)、该地 $A$ 河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
方案
防控等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
80
方案三
防控2级灾害
200
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.

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方案	防控等级	费用（单位：万元）
方案一	无措施	0
方案二	防控1级灾害	80
方案三	防控2级灾害	200