人教版九年级上学期数学课时进阶测试23.1图形的旋转（三阶）

试卷更新日期：2024-08-25 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分）

1. 如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC ，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD ．下列结论：①DB+DC≥DA；②S_△BDC≤ $\frac{1}{2}$ BD•DC；③若DB＝m ， DC＝n ，则S_△ADB≤ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ $m^{2}$ + $\frac{1}{2}$ mn ．其中错误的结论个数为（）个．

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 在 $⊙ O$ 上，顶点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 内，将正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ ，使点 $C$ 落在 $⊙ O$ 上．若正方形 $A B C D$ 的边长和 $⊙ O$ 的半径相等，则旋转角度 $α$ 等于（）

A、 $36 °$ B、 $30 °$ C、 $25 °$ D、 $22.5 °$

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3. 如图，将边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M ，那么图中点M的坐标为（　　）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 3 ， C E = 2 B E ， E F = 2$ ，连接 $A F$ ，将线段 $A F$ 绕着点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $A P$ ，则线段 $P E$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{34} - 1$ C、4 D、 $\sqrt{34} - 2$

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5. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 3$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（）

A、一直增大 B、始终不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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6. 如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA₁B₁ ，则点A₁的坐标为（）

A、（ $\sqrt{3}$ ，1） B、（ $\sqrt{3}$ ，-1） C、（-1， $- \sqrt{3}$ ） D、（2，1）

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二、填空题（每题3分）

7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= $\sqrt{2}$ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=

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8. 如图，点A ， C分别是y轴，x轴正半轴上的动点， $A C = 1$ ，将线段 $A C$ 绕点A顺时针旋转60°得到线段 $A B$ ，则 $O B$ 的最小值是．

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9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A₁B₁C，满足A₁B₁∥AC，过点B作BE⊥A₁C，垂足为E，连接AE，若S_△_ABE＝3S_△_ACE ，则AB的长为．

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10. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $A$ 在第一象限， $B$ $(2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $O A = A B$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，把 $△ O A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转60°得到 $△ M P B$ ，点 $O$ ， $A$ 的对应点分别为 $M$ $(a ， b)$ ， $P$ $(p ， q)$ ，则 $b - q$ 的值为．

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 上一动点，点 $E$ 是 $C M$ 的中点， $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $D E$ ， $D F .$ 给出结论： $① D E = E F$ ； $② ∠ C D F = 45 °$ ；③若正方形的边长为2，则点 $M$ 在射线 $A B$ 上运动时， $C F$ 有最小值 $\sqrt{2} .$ 其中结论正确的是．

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三、作图题

12. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是 $1$ ，小正方形的顶点称作格点， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，把 $△ A B C$ 先向右平移 $6$ 个单位，再向下平移 $4$ 个单位得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得 $△ A_{2} B_{2} C_{1} .$ 结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题：

(1)、在平面直角坐标系中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ；

(2)、图中的 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ 能不能通过顺时针旋转 $△ A B C$ 得到？如果可以，请写出旋转中心 $D$ 的坐标及旋转角 $α$ 的度数 $(0 ° < α < 180 °)$ ；如果不能，说明理由．

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四、解答题

13. 如图1，在正方形ABCD内作 $∠ E A F = 45 °$ ， AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作 $A H ⊥ E F$ ，垂足为H.

图1 图2 图3

(1)、如图2，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ .
①求证： $△ A G E ≌ △ A F E$ .
②若 $B E = 2$ ， $D F = 3$ ，求AH的长.

(2)、如图3，连接BD交AE于点M，交AF与点N，请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么关系？请说明理由？

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