新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-22 类型：期中考试

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{1, 2, 3, 4\}, N = \{3, 5\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）．

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, t)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、5

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3. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 1$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、43 B、46 C、37 D、36

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4. 已知随机变量 $X$ 的概率分布如表则 $E (5 X + 4) =$ （）
$X$
1
2
4
$P$
$0.4$
$a$
$0.3$

A、1 B、 $2.2$ C、11 D、15

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5. 某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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6. 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，双曲线的右支上有一点 $A, A F_{1}$ 与双曲线的左支交于 $B$ ，线段 $A F_{2}$ 的中点为 $M$ ，且满足 $B M ⊥ A F_{2}$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 设函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - 1, x > t \\ x^{2} + 3 x + 2, x \leq t \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 恰有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup [1, 2)$ C、 $[- 2, 1]$ D、 $[- 2, - 1) \cup [0, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9. 设复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为 $\frac{3}{2}$ B、 $\bar{z} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{2} i$ D、 $|z| = 1$

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10. 为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（）

A、游客中，青年人是老年人的2倍多 B、老年人的满意人数是青年人的2倍 C、到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D、到该地旅游的游客满意人数超过一半

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ B、满足 $f (x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围为 $(k π, k π + \frac{π}{3})$ （ $k \in Z$ ） C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象的一条对称轴 $x = \frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = - 2 \cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{6}$ 的展开式的第四项为.

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 45^{\circ}$ ，则 $B =$ .

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14. 如图，表面积为 $100 π$ 的球面上有四点 $S$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $△ A B C$ 是等边三角形，球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为3，若平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $C - S A B$ 体积的最大值为．

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四、解答题共5小题，15小题13分，16，17小题各15分，18，19小题各17分.

15. 已知函数 $f (x) = ln x + x^{2} + a x + 2$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线的斜率为 $\frac{3}{2}$

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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16. 本学期初，某校为检验高三学生网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；

(3)、为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在 $[60, 70)$ 的概率．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $△ D C P$ 是等边三角形， $∠ D C B = ∠ P C B = \frac{π}{4}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $D P$ 和 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求 $C M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} - \cos \frac{n π}{2} + 2 \sin \frac{n π}{2} (n \in N^{*}) .$

(1)、求 $a_{2}, a_{3}$ .

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设 $\{n (a_{n} - 2^{n})\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{m} = 2024 (m \in N^{*})$ ，求 $m$ .

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $F_{1}, F_{2}$ 与短轴的一个端点 $Q$ 构成一个等腰直角三角形，点 $P (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $E$ 上，过点 $F_{2}$ 作互相垂直且与 $x$ 轴不重合的两直线 $A B, C D$ 分别交椭圆 $E$ 于 $A, B, C, D$ ，且 $M, N$ 分别是弦 $A B, C D$ 的中点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求证：直线 $M N$ 过定点；

(3)、求 $△ M N F_{2}$ 面积的最大值.

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$X$	1	2	4
$P$	$0.4$	$a$	$0.3$