浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-16 类型：开学考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数据 $4, 2, 5, 2, 6, 0$ 的上四分位数是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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2. 设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, \frac{4}{5})$ ，若 $P (X ⩾ 1) = 0.9984$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.16 B、0.32 C、0.64 D、0.84

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3. 设集合 $A = \{- 1, a, a^{2} - 2\}, B = \{0, 2, a + 2\}, C = \{- a\}$ ，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $A \cup C = A$ B、 $A \cap C = \emptyset$ C、 $B \cup C = B$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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4. 方程 ${log}_{3} x = {log}_{6} x \cdot {log}_{9} x$ 的实数解有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与斜率为 $32 p$ 的直线恰有一个公共点 $P$ ，则点 $P$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 如图，在下列四个正方体中， $P$ 是顶点， $A, B, C$ 是棱的中点，则三棱锥 $P - A B C$ 体积最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + k, x \leq 0, \\ \sqrt{x} - k, x > 0. \end{array}$ 若 $f (f (x)) = 1$ 恰有三个不同实根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ B、 $[- 1, \frac{\sqrt{5} - 3}{2})$ C、 $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 1]$ D、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 1]$

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8. 空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为 $1 N, 2 N, 3 N$ ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为 $60^{\circ}$ ，则该物体的重力大小为（）

A、 $2 \sqrt{2} N$ B、 $2 \sqrt{5} N$ C、 $5 N$ D、 $6 N$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设双曲线 $C : x^{2} - 2 y^{2} = 3$ ，则（）

A、 $C$ 的实轴长为2 B、 $C$ 的焦距为 $3 \sqrt{2}$ C、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ D、 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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10. 在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的点分别是 $(a, b), (b, a)$ .已知 $z_{1} \neq z_{2}, z_{1} z_{2} \neq 0$ ，则（）

A、 $\frac{z_{1}}{\bar{z_{2}}} = \frac{z_{2}}{\bar{z_{1}}}$ B、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$ C、 $|z_{1} + \bar{z_{2}}| = |z_{1} - \bar{z_{2}}|$ D、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1} \bar{z_{2}}|$

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列， $\{b_{n}\}$ 为公比为 $q$ 的正项等比数列.记 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}, G_{n} = \sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}, D_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} {(a_{k} - A_{n})}^{2}, F_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{b_{k}}{G_{n}}$ ，则（）参考公式： $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ .

A、当 $F_{3} = \frac{7}{2}$ 时， $q = 2$ B、当 $D_{5} = 2$ 时， $D_{7} = 4$ C、 $F_{n} \geq 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{D_{2 k + 1}} < \frac{3}{d^{2}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2 - λ, λ)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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13. 设 $0 < x < y < \frac{π}{2}$ ，且 $tan y = tan x + \frac{1}{cos x}$ ，则 $y - \frac{x}{2} =$ .

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14. 四个村庄 $A, B, C, D$ 之间建有四条道路 $A B, B C, C D, D A$ .在某个月的30天中，每逢单数日道路 $A B, C D$ 开放， $B C, D A$ 封闭维护，每逢双数日道路 $B C, D A$ 开放， $A B, C D$ 封闭维护.一位游客起初住在村庄 $A$ ，在该月的第 $k (1 ⩽ k ⩽ 30)$ 天，他以 $\frac{1}{k}$ 的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以 $1 - \frac{1}{k}$ 的概率留在当前村庄，并且他在这30天里的选择是相互独立的.则第30天结束时该游客住在村庄 $B$ 的概率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = x^{4} - (a + b) x + a b$ ，其中 $- 1 < a < b < 1$ .

(1)、若 $a = 0, b = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $f (x)$ 至少有两个零点.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a cos C + \sqrt{5} a sin C = b + c$ .

(1)、求 $tan A$ ；

(2)、求 $\frac{b c}{a^{2}}$ 的取值范围.

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17. 已知 $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面， $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.

(1)、若 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{a\}$ ，求 $a$ 的所有可能值以及相应的 $α$ 的个数；

(2)、已知 $β$ 为 $Ω$ 的4阶等距平面，且点 $A$ 与点 $B, C, D$ 分别位于 $β$ 的两侧.若 $Ω$ 的4阶等距集为 $\{b, 2 b, 3 b, 4 b\}$ ，其中点 $A$ 到 $β$ 的距离为 $b$ ，求平面 $B C D$ 与 $β$ 夹角的余弦值.

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18. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 2, S_{n} = \frac{n (1 + a_{n})}{2}$ .令 $b_{n} = a_{n}^{\frac{1}{a_{n + 1}}}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n \in N^{*}$ 时， $b_{n} \leq b_{k}$ ，求正整数 $k$ ；

(3)、数列 $\{b_{n}\}$ 中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数 $x$ ，使得 $\{b_{n}\}$ 中至少有两项等于 $x$ ；若不存在，请说明理由.

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点的直线与 $E$ 截得的线段长的取值范围是 $[3, 4]$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知曲线 $C : x^{m} + y^{m} = 1 (x, y, m > 0)$ 的切线 $l$ 被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求 $l$ 与 $C$ 截得的线段长；
（ii）求 $l$ 与 $E$ 截得的线段长的取值范围.

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