新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-16 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知i为虚数单位，则 $i (1 + i) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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2. 已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = (x, 2)$ ，则 $x =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $\cos A = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin A =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，且满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $B = 30 °$ ，则 $A =$ （）

A、60° B、120° C、60°或120° D、30°或90°

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 为边 $A B$ 的中点， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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7. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移m（ $m > 0$ ）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（）．

A、 $\frac{π}{3}$ B、π C、 $\frac{4π}{3}$ D、 $\frac{5π}{3}$

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8. 已知 $\cos (α - \frac{π}{6}) + \sin α = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数 $z = \frac{2 i}{2 + i}$ ，以下说法正确的是（）

A、复数z的虚部是 $\frac{4}{5} i$ B、 $| z | = 1$ C、复数z的共轭复数是 $\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$ D、复数z的共轭复数对应的点位于第四象限

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10. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，G，E分别为所在棱的中点， $A B = 4 A F$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 挖去两个三棱锥 $A - E F G$ ， $B_{1} - B C_{1} D$ 后所得的几何体记为 $Ω$ ，则（）

A、 $Ω$ 有7个面 B、 $Ω$ 有13条棱 C、 $Ω$ 有7个顶点 D、直线 $B D / /$ 直线EF

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11. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 对称 C、把函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $g (x) = A sin ω x$ 的图象 D、 $f (x)$ 在 $[0, a]$ 上恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $\begin{array}{r} [\frac{11 π}{12}, \frac{19 π}{12}] \end{array}$

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三、填空题（共3小题）

12. 已知 $(x + y - 3) + (x - 2) i = 0$ ，则 $y =$ ．

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13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} C^{'} = 2 \sqrt{2}$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的高为.

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14. 如图，在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = θ$ ，平面上任意一点 $P$ 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ （其中 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴正方向的单位向量），则 $P$ 点的斜坐标为 $(x, y)$ ，且向量 $\vec{O P}$ 的斜坐标为 $(x, y)$ .给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若 $θ = 60 °$ ， $P (2, - 1)$ ，则 $|\vec{O P}| = \sqrt{3}$ ；
②若 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{O P} + \vec{O Q} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ ；
③若 $P (x, y), λ \in R$ ，则 $λ \vec{O P} = (λ x, λ y)$ ；
④若 $\vec{O P} = (x_{1}, y_{1}), \vec{O Q} = (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} .$

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四、解答题（共6小题）

15. 已知向量 $\vec{a} = (6, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ， $\vec{c} = (2, 2)$ ， $\overset{⃑}{d} = (- 3, k)$ ．

(1)、求 $\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{c}) / / (\vec{c} + k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值．

(3)、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{d}$ 的夹角是钝角，求实数 $k$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值及相应的x的值．

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 6$ ， $\cos B = \frac{1}{3}$ ，且 $b \sin A = 3 c \sin B$ ．

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $b$ 的值；

(3)、求 $\cos (2 B + \frac{π}{6})$ 的值．

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18. 如图，点 $B (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，点A是单位圆与 $x$ 轴的正半轴的交点.

(1)、若 $∠ A O B = α$ ，求 $\sin 2 α$ ；

(2)、设点 $P$ 为单位圆上的动点，点 $Q$ 满足 $\vec{O Q} = \vec{O A} + \vec{O P}$ ， $∠ A O P = 2 θ (\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ， $f (θ) = \vec{O B} \cdot \vec{O Q}$ ，求 $f (θ)$ 的取值范围；

(3)、在(2)的条件下，当 $\vec{O B} ⊥ \vec{O Q}$ 时，求四边形 $O A Q P$ 的面积.

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19. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $sin A + \sqrt{3} \cos A = 0$ ， $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ．

(1)、求角 $A$ 和边长 $c$ ；

(2)、设 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $A D$ 为角 $A$ 的平分线，试求三角形 $A B D$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，点 $E$ 为线段 $B D$ 的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，分别求 $λ$ 和 $μ$ 的值．

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