广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-14 类型：期末考试

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 通过计算样本相关系数 $r$ 可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数 $r$ ，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）

A、 $r = 0.93$ B、 $r = 0.82$ C、 $r = 0.04$ D、 $r = - 0.05$

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2. 以下求导计算正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{6})}^{'} = \cos \frac{π}{6}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ C、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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3. 某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩 $X ~ N (100, 10^{2})$ ，如果从高到低按照 $16 %, 34 %, 34 %, 16 %$ 的比例将考试成绩分为 $A, B, C, D$ 四个等级，则 $A$ 等级分数线大概为（）（参考数据：若 $X ~ N (μ, δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ \leq X \leq μ + δ) \approx 0.6827, P (μ - 2 δ \leq X \leq μ + 2 δ) \approx$ $0.9545, P (μ - 3 δ \leq X \leq μ + 3 δ) \approx 0.9973)$

A、134 B、120 C、116 D、110

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4. 曲线 $f (x) = - 2 x^{3} + 1$ 在点 $(1, - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $6 x + y + 5 = 0$ B、 $6 x + y - 5 = 0$ C、 $5 x - y - 6 = 0$ D、 $5 x + y - 4 = 0$

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5. 生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：
父亲身高 $x / cm$
166
169
170
172
173
儿子身高 $y / cm$
168
170
171
175
176
并利用相关知识得到儿子身高 $y$ 关于父亲身高 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + \hat{a}$ .根据该经验回归方程，已知某父亲身高为 $175 cm$ ，预测其儿子身高为（）

A、 $176 cm$ B、 $177 cm$ C、 $178 cm$ D、 $179 cm$

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6. 在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为 $X$ ，则 $X$ 的方差 $D (X) =$ （）

A、1.5 B、7.5 C、20.5 D、37.5

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7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）

A、 $\frac{32}{81}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{16}{81}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 现要对三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）

A、264种 B、216种 C、192种 D、144种

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表所示：
$X$
0
1
2
$P$
$q^{2}$
$0.5 - q$
$0.74$
则下列选项中正确的是（）

A、 $q = 0.6$ B、 $q = 0.4$ C、 $E (X) = 1.58$ D、 $D (X) = 0.5636$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 4, x \in [0, 2]$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[2, 6]$ B、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值为2 C、 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是增函数 D、若方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根，则 $a \in [2, 4]$

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11. 现有数字 $0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5$ 下列说法正确的是（）

A、可以组成 $600$ 个没有重复数字的六位数 B、可以组成 $288$ 个没有重复数字的六位偶数 C、可以组成 $3240$ 个六位数 D、可以组成 $2160$ 个相邻两个数字不相同的八位数

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = e^{x} - e x + 2024$ 的单调递减区间为.

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13. 在 $x {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{3}$ 项的系数为.

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14. 若函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{ln x}{x}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚.

15. 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.

(1)、根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位：人）
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
并依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；

(2)、根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
7.879
10.828

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16. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中.

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P A = A B = 2 \sqrt{2}$ ，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.

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17. 在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.

(1)、若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.

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18. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} a e^{2 x} - (a + 1) e^{x} + x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a > 0$ ，证明 $f (x)$ 只有一个零点.

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19. 若各项为正的无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对于 $\forall n \in N^{*}, \ln a_{n + 1} - \ln a_{n} = d$ ，其中 $d$ 为非零常数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为指形数列；若数列 $\{c_{n}\}$ 满足： $m + n = 2 k (m, n, k \in N^{*}$ ，且 $m \neq n)$ 时，有 $c_{m} + c_{n} >$ $2 c_{k}$ ，则称数列 $\{c_{n}\}$ 为凹形数列.

(1)、若 $a_{n} = 10^{n}$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由；

(2)、若 $a_{1} = e$ ，证明指形数列 $\{a_{n}\}$ 也是凹形数列；

(3)、若指形数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，令 $a_{1} = e^{d}, b_{n} = a_{2 n - 1}, n \in N^{*}$ ，求使得 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} \geq \frac{8}{9} \cdot \frac{e^{d}}{1 - e^{2 d}}$ 成立的最小正整数 $n_{0}$ .

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父亲身高 $x / cm$	166	169	170	172	173
儿子身高 $y / cm$	168	170	171	175	176

$α$	0.15	0.10	0.05	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	7.879	10.828

$X$	0	1	2
$P$	$q^{2}$	$0.5 - q$	$0.74$

疗法	疗效		合计
疗法	未治愈	治愈	合计
甲
乙
合计