河北省石家庄市无极县文苑中学2024-2025学年高二上学期开学模拟检测数学试题

试卷更新日期：2024-08-09 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.赛每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = (- 5, 1)$ . 若 $(\vec{a} + k \vec{b}) // \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、 $- \frac{11}{4}$

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2. 设复数 $z = 1 - i$ （i是虚数单位），则 $\frac{1 + i}{z} - z =$

A、 $- 1$ B、 $1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B D = 90^{0}$ ，且 $A B = 1 ， B D = \sqrt{2}$ ，若将其沿 $B D$ 折起使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则三棱锥 $A - B D C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、 $4 π$

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4. 如图，已知边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为线段 $C D_{1}$ 的中点，则直线 $A E$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成角的正切值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位： $km/h$ ）如下表：
上班时间
18
20
21
26
27
28
30
32
33
35
36
40
下班时间
16
17
19
22
25
27
28
30
30
32
36
37
则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）

A、28与28.5 B、29与28.5 C、28与27.5 D、29与27.5

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6. 已知 $n$ 个数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则数据 $3 x_{1}, 3 x_{2}, \dots, 3 x_{n}$ 的平均数和方差分别为（）

A、 $\bar{x}$ ， $2 s^{2}$ B、 $3 \bar{x}$ ， $s^{2}$ C、 $3 \bar{x}$ ， $2 s^{2}$ D、 $3 \bar{x}$ ， $9 s^{2}$

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7. 正方形 $A C D E$ 与等腰直角三角形 $A C B$ 所在的平面互相垂直，且 $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $F$ 、 $G$ 分别是线段 $A E$ 、 $B C$ 的中点，则 $C D$ 与 $G F$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$

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8. 在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则 $\overset{⇀}{D E} =$

A、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{A M} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ ，则点 $M$ 在边 $B C$ 的延长线上 C、若 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，满足以下条件 $2 \vec{O A} + 2 \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ O B C} = \frac{2}{5} S_{△ A B C}$ D、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则 $△ M B C$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中，点 $O$ 为其中心，则下列判断正确的是（）

A、 $\vec{A B} = \vec{O C}$ B、 $\vec{A B} // \vec{D E}$ C、 $|\vec{A D}| = |\vec{B E}|$ D、 $\vec{A D} = \vec{F C}$

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11. （多选）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下列结论正确的是（）

A、年接待游客量逐年增加 B、各年的月接待游客量高峰期大致都在8月 C、2017年1月至12月月接待游客量逐月增加 D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设向量 $\vec{a} = (3, x), \vec{b} = (y, 9)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x y =$ .

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13. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B, C$ 所对的边分别为 $a ， b, c$ ，角 $C$ 等于 $60^{\circ}$ ，若 $a = 4, b = 2$ ，则 $c$ 的长为.

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14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 $90 °$ 榫卯起来.若正四棱柱的高为 $8$ ，底面正方形的边长为 $2$ ，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留 $π$ ）

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四、解答题：本题共5小题共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

15. 已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) \cdot (\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}) = - 34$ .

(1)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、当 $x$ 为何值时，向量 $x \overset{⃑}{a} + \vec{b}$ 的模长为 $\sqrt{7}$ ？

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16. 已知复数z=3+bi（b $\in$ R），且（1+3i）·z纯虚数
（1）求复数z
（2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w|

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17. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．
分组
频数
频率
$50.5 \sim 60.5$
4
0.08
$60.5 \sim 70.5$

0.16
$70.5 \sim 80.5$

0.20
$80.5 \sim 90.5$
16

$90.5 \sim 100.5$

合计
50
1.00

(1)、填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P A B ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B, A B / / C D$ 且 $C D = 2, A B = 1, B C = 2 \sqrt{2}, P A = 1, A B ⊥ B C$ ， $N$ 为 $P D$ 的中点.
（1）求证： $A N / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段 $P D$ 上是否存在一点 $M$ ，使得直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ ，若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值；若不存在，说明理由.

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19. 已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且 $b \cos A + a \cos B = c (3 \cos A - 1)$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、若 $\overset{⃑}{B A} \cdot \overset{⃑}{A C} = - 10$ ，求△ABC的面积S的值．

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上班时间	18	20	21	26	27	28	30	32	33	35	36	40
下班时间	16	17	19	22	25	27	28	30	30	32	36	37

分组	频数	频率
$50.5 \sim 60.5$	4	0.08
$60.5 \sim 70.5$		0.16
$70.5 \sim 80.5$		0.20
$80.5 \sim 90.5$	16
$90.5 \sim 100.5$
合计	50	1.00