江西省鹰潭市余江区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-08-23 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）

1. 下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）

A、1、2、2、3 B、1、2、3、4 C、1、2、2、4 D、3、5、9、13

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x = - 4$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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3. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 如图，点 $O$ 为矩形 $A B C D$ 的对称中心，点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 向点 $B$ 运动，移动到点 $B$ 停止，延长 $E O$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，则四边形 $A E C F$ 形状的变化依次为（）

A、平行四边形 $\to$ 正方形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 矩形 B、平行四边形 $\to$ 正方形 $\to$ 菱形 $\to$ 矩形 C、平行四边形 $\to$ 菱形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 矩形 D、平行四边形 $\to$ 菱形 $\to$ 正方形 $\to$ 矩形

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $M$ 是 $D E$ 的中点， $G$ 为 $B C$ 上一点， $N$ 为 $E G$ 的中点．若 $B G = 3, C G = 1$ ，则线段 $M N$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °, A B = 6, B C = 8$ ．将 $△ A B C$ 沿图中的 $D E$ 剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 方程x²=x的根是．

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8. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点，若 $E F = 2$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长是．

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9. 设 $x_{1}, x_{2}$ 分别是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的两个不相等的实数根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ．

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10. 为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
得分
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
人数（人）
10
$m$
$n$
48
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为．

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11. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形 $A B C D$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ ．若四边形 $E F G H$ 与四边形 $A B C D$ 相似，则四边形 $E F G H$ 的面积是．

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12. 如图，已知点 $A (0, 4), B (8, 0), C (8, 4)$ ，连接 $A C, B C$ 得到四边形 $A O B C$ ．点 $D$ 在边 $A C$ 上，连接 $O D$ ，将边 $O A$ 沿 $O D$ 折叠，点 $A$ 的对应点为点 $P$ ，若点 $P$ 到四边形 $A O B C$ 较长两对边的距离之比为 $1 : 3$ ．则点 $P$ 的坐标为．

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三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.

(1)、解方程： $x (2 x - 5) = 4 x - 10$ ．

(2)、如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，求原矩形纸片的宽与长之比．

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14. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《儿章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次用 $A, B, C$ 表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法，求抽取两本书中有《九章算术》的概率．

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15. 人体上半身长和下半身长的黄金比为 $0.618 : 1$ ，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？

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16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} - (2 m - 3) x + (m - 1) = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围：

(2)、若 $m$ 为最大负整数，求此时方程的根．

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17. 已知正六边形 $A B C D E F$ ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）。

图1图2

(1)、在图1中作出以 $B E$ 为对角线的一个菱形 $B M E N$ ；

(2)、在图2中作出以 $B E$ 为边的一个菱形 $B E P Q$ ．

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四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．

(1)、小明抽到甲训练场的概率为；

(2)、用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．

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19. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：

(1)、则 $∠ A B C =$ ， $B C =$ ；

(2)、判断 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是否相似，若相似，请说明理由．

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20. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

(1)、根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，其中红球的个数是；

(2)、如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用树状图或列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．

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五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点 $O$ ，分别过点 $B, C$ 作 $B E / / A C$ ， $C E / / B D, B E$ 与 $C E$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $O B E C$ 是矩形；

(2)、当 $∠ A B D = 60 °, A D = 4$ 时，求 $E D$ 的长．

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22. 某商场在去年底以每件：80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计出三月份的销量达到了500件．

(1)、求二、三月份服装销售量的平均月增长率；

(2)、从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？

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六、（本大题共12分）

23. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 为线段 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交射线 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E 、 E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

备用图

(1)、求证： $E D = E F$ ；

(2)、当线段 $D E$ 与正方形 $A B C D$ 的某条边的夹角是 $30 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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得分	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
人数（人）	10	$m$	$n$	48