浙江省宁波市奉化中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷

试卷更新日期：2024-08-20 类型：开学考试

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1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ e^{x} + l n (x + 1), x \geq 0 \end{array}$ 在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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2. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，若不等式 $| f (x) | \leq 2$ 在 $x \in [1 ， 5]$ 上恒成立，则满足要求的有序数对 $(a ， b)$ 有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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4. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{2}$

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5. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 1 ， x ， y \in Z}$ ， $B = {(x ， y) | |x| \leq 2 ， |y| \leq 2 ， x ， y \in Z}$ ，定义集合
$A \oplus B = {(x_{1} + x_{2} ， y_{1} + y_{2}) | (x_{1 ，} y_{1}) \in A ， (x_{2} y_{2}) \in B}$ ，则 $A \oplus B$ 中元素的个数为（）

A、77 B、49 C、45 D、30

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6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ 成为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\forall x \in R, f (f (x)) = 1$ B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、任意一个非零有理数 $T$ ， $f (x + T) = f (x)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立 D、存在三个点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2})), C (x_{3}, f (x_{3}))$ ，使得 $Δ A B C$ 为等边三角形

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (\frac{1}{2}) \neq 0$ ，若 $f (x + y) + f (x) f (y) = 4 x y$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = - 2$ C、函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 是减函数

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8. $2 x^{2} + x y + y^{2} = 1$ ，则 $x^{2} + x y + 2 y^{2}$ 的最小值为.

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9. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为。

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10. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x + 3} > 0}$ ，集合 $B = {x | a - 2 \leq x \leq 2 a + 1}$ ．
（1）当 $a = 3$ 时，求 $A$ 和 $(∁_{R} A) \cup B$ ；
（2）若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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