贵州省铜仁市2025届高三上学期八月摸底考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-22 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ x > - 1, x \in R}, B = \{x ∣ - 1 \leq x \leq 2, x \in R\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x > - 1}$ B、 $\{x ∣ x \geq - 1\}$ C、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$ D、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 2\}$

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2. 设 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 6, S_{8} = 72$ ，则 $a_{6}$ 的值为（）

A、64 B、14 C、12 D、3

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3. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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4. 用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，则该四棱台的体积是（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

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5. 为了得到函数 $y = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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6. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 10$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{5} \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数是（）

A、5 B、10 C、20 D、60

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8. 关于函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ ，下列说法正确的是（）
①曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程为 $8 x - 2 y - 25 = 0$ ；
② $f (x)$ 的图象关于原点对称；
③若 $y = f (x) - m$ 有三个不同零点，则实数 $m$ 的范围是 $(- \frac{7}{3}, \frac{13}{6})$ ；
④ $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递减.

A、①④ B、②④ C、①②③ D、①③④

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二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在同一平面直角坐标系中，直线 $m x - y + 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的位置可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2, A A_{1} = 1$ ，点 $M$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、当点 $M$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时， $C_{1} M ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ B、当点 $M$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时，直线 $D M$ 与直线 $B C$ 所角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、当点 $M$ 在线段 $B_{1} D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $C_{1} - B D M$ 的体积是定值 D、点 $M$ 到直线 $B C_{1}$ 距离的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x, y \in R, f (x) f (y) = f^{2} (\frac{x + y}{2}) - f^{2} (\frac{x - y}{2})$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $y = f (x + 1) - 2$ 的图象关于点 $(- 1, - 2)$ 对称 C、 $\frac{f (2023) + f (2025)}{f (2022) + f (2024)} = \frac{f (2024)}{f (2023)}$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $z$ 是复数，若 $(1 - i) z = 2$ ，则 $z =$ .

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13. 已知角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (5, 12)$ ，将角 $α$ 的终边绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到角 $β$ ，则 $sin β =$ .

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A, B$ ，且满足 $|A B| = 2 a$ 的直线 $l$ 佮有三条，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为.

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四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} b + c sin A - \sqrt{3} c cos A = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小：

(2)、若 $c = 7$ ，且 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动 $\frac{2 π}{3}$ ，设移动 $n$ 次回到起始位置的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{2}$ 及 $P_{3}$ 的值：

(2)、求数列 $\{P_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D P$ ， $B C / /$ $A D, A D = 2 B C = 4, P A = P D = 2 \sqrt{2}, A B = \sqrt{2}$ .

(1)、 $E$ 为 $P D$ 上一点， $\vec{D E} = m \vec{D P}, C E / /$ 平面 $A B P$ ，求 $m$ 的值：

(2)、平面 $A B P$ 与平面 $D C P$ 的交线为 $l$ ，求 $l$ 与平面 $B C P$ 所成角的正弦值.

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18. 已知点 $A (0, \sqrt{3}), B (0, - \sqrt{3})$ ，点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的圆上运动， $P D ⊥ y$ 轴，垂足为 $D$ ，点 $M$ 满足 $\vec{D P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{D M}$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程：

(2)、过点 $N (0, 1)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于点 $E 、 F$ ，设直线 $A E 、 B F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，证明 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 为定值，并求出该定值.

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19. 如图，在区间 $[a, b]$ 上，曲线 $y = f (x)$ 与 $x = a, x = b, x$ 轴围成的阴影部分面积记为面积 $S$ ，若 $F^{'} (x) = f (x)$ （ $F^{'} (x)$ 为函数 $y = F (x)$ 的导函数），则 $S = |F (b) - F (a)|$ .设函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$

(1)、若 $a = 1, b = 2$ ，求 $S$ 的值；

(2)、已知 $b > a > 0$ ，点 $A (a, 0), D (b, 0), M (\frac{a + b}{2}, f (\frac{a + b}{2}))$ ，过点 $M$ 的直线分别交 $x = a, x = b$ 于 $B, C$ 两点（ $B, C$ 在第一象限），设四边形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，写出 $S_{1}$ 的表达式（用 $a, b$ 表示）并证明： $S > S_{1}$ ：

(3)、函数 $g (x) = f (x) ln x - m$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，比较 $x_{1} x_{2}$ 与 $e^{2}$ 的大小，并说明理由.

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