【培优版】浙教版（2024）七上第三章实数单元测试

试卷更新日期：2024-08-22 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若 $\sqrt{16}$ ＝a ，则a的值为（　　）

A、4 B、﹣4 C、﹣2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，下列估算正确的是（）

A、0＜ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＜ $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ ＜ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＜1 C、 $\frac{2}{5}$ ＜ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＜ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＞1

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3. 一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（）

A、3＜a＜4 B、4＜a＜5 C、7＜a＜8 D、8＜a＜9

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4. 如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段 $A B$ 上的是( )

A、 $\sqrt{5}$ B、 $π - 3$ C、 $- 1.1$ D、 $\sqrt[3]{9}$

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5. 有一个数值转换器，原理如图所示．当输入 $x = 16$ 时，输出y的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8}$ C、4 D、 $\sqrt{2}$

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6. 七巧板是一种古老的汉族传统益智游戏，由七块板组成，可拼成许多图形(1 600种以上).如图所示，现在用边长为4的正方形制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部正方形的面积是( )

A、1 B、2 C、4 D、6

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7. 将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去 $.$ 若用有序实数对 $(m, n)$ 表示第 $m$ 排，从左到右第 $n$ 个数，如 $(4,3)$ 表示实数 $\sqrt{9}$ ，则 $(8,5)$ 表示的实数是( )
$\sqrt{1}$ 第一排
$\sqrt{2} \sqrt{3}$ 第二排
$\sqrt{4} \sqrt{5} \sqrt{6}$ 第三排
$\sqrt{7} \sqrt{8} \sqrt{9} \sqrt{10}$ 第四排
$\dots \dots$

A、 $\sqrt{31}$ B、 $\sqrt{34}$ C、 $\sqrt{33}$ D、 $\sqrt{42}$

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8. 已知min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}＝min{ $\sqrt{9}$ ， 9² ， 9}＝3．当min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}＝ $\frac{1}{16}$ 时，则x的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（）

x	15	15.1	15.2	15.3	15.4	15.5	15.6	15.7	15.8	15.9	16
x²	225	228.01	231.04	234.09	237.16	240.25	243.36	246.49	249.64	252.81	256

A、

\sqrt{252.81} = 1.59

B、235的算术平方根比15.3小 C、只有3个正整数n满足15.5

< \sqrt{n} < 15.6

D、根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.1²将比256增大3.19

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二、填空题（每题4分，共24分）

10. 已知|x|=5，y²=1，且 $\frac{x}{y}$ ＞0，则x﹣y= ．

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11. $\sqrt{3} - 2$ 的相反数是；

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12. 阅读下列材料：因为 $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{5} < 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的整数部分为 $2$ ，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ，若规定实数 $m$ 的整数部分记为 $[m]$ ，小数部分记为 ${m}$ ，可得 $[\sqrt{5}] = 2$ ， ${\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2 .$ 按照此规定计 ${5 - \sqrt{5}}$ 的值是．

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13. 定义：对于任何实数m ，符号 $[m]$ 表示不大于m的最大整数．已知 $[x] = a$ ，则 $a \leq x < a + 1$ ．例如：若 $[x] = 4$ ，则 $4 \leq x < 5$ ．若 $[x - 1] = 2024$ ，则x的取值范围是．

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14. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙

(1)、下面是探究 $^{3} \sqrt{59319}$ 的过程，请补充完整：
①由10³=1000，100³=1000000，可以确定 $^{3} \sqrt{59319}$ 是两位数；

②由59319的个位上的数是9，可以确定 $^{3} \sqrt{59319}$ 的个位上的数是9：

③如果划去59319后面的三位319得到数59，而3³=27，4⁴=64，可以确定 $^{3} \sqrt{59319}$ 的十位上的数是；由此求得 $^{3} \sqrt{59319}$ =39

(2)、已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 $^{3} \sqrt{103823}$ =

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三、解答题（共8题，共66分）

15. 计算：

(1)、 $(- 1)^{2} + \sqrt[3]{- 27} + | - 2 |$

(2)、 $(- 6)^{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - 2^{3}$

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16. 请根据如图所示的对话内容回答下列问题．

(1)、求该魔方的棱长；

(2)、求该长方体纸盒的长．

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17. 如果一个正方形ABCD的面积为69．

(1)、求正方形ABCD的边长a．

(2)、正方形ABCD的边长满足m<a<n，m，n表示两个连续正整数，求m，n的值．

(3)、m，n在满足(2)的条件下，求 $^{3} \sqrt{- m} - \sqrt{n}$ 的值．

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18. 对于实数a，我们规定：用符号 $[\sqrt{a}]$ 表示不大于 $\sqrt{a}$ 的最大整数，称 $[\sqrt{a}]$ 为a的根整数，例如： $[\sqrt{9}] = 3$ ， $[\sqrt{10}]$ =3．

(1)、仿照以上方法计算： $[\sqrt{4}]$ =； $[\sqrt{26}]$ = ．

(2)、若 $[\sqrt{x}] = 1$ ，写出满足题意的x的整数值．

(3)、如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 $[\sqrt{10}] = 3$ $\to$ $[\sqrt{3}]$ =1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．

(4)、只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．

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19. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：－9，－4，－1这三个数， $\sqrt{(- 9) \times (- 4)} = 6$ ， $\sqrt{(- 9) \times (- 1)} = 3$ ， $\sqrt{(- 4) \times (- 1)} = 2$ ，其结果6，3，2都是整数，所以－1，－4，－9这三个数称为“绝佳组合数”．

(1)、－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由；

(2)、若三个数－2，m ，－8是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．

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20. 如图1，依次连接2×2方格四条边的中点，得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位，则这个阴影正方形的边长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、图1中阴影正方形的边长为；点P表示的实数为；

(2)、如图2，在4×4方格中阴影正方形的边长为a.
①写出边长a的值.
②请仿照（1）中的作图在数轴上表示实数﹣a+1.

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21.

(1)、【基本事实】
我们知道整数和分数统称为有理数，为什么不是整数和小数统称为有理数呢？所有的分数都可以化成小数的形式，是不是所有的小数都可以化成分数形式呢？我们可以举例说明：有限小数0.2化成分数的形式是；无限循环小数又该如何化呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设 $0 . \overset{•}{7}$ ＝x，由 $0 . \overset{•}{7}$ ＝0.7777…可知，10x＝7.7777…，所以10x＝7+x，解方程，得x＝ $\frac{7}{9}$ ，于是得 $0 . \overset{•}{7} = \frac{7}{9}$ ，故 $0 . \overset{•}{3} \overset{•}{7}$ 化成分数的形式是，所有有限小数和无限循环小数（填“是”或“不是”）有理数；而无限不循环小数是不可以化成分数的，所以π （填“是”或“不是”）有理数，那么无限不循环小数能通过数轴上的一个点来表示吗？我们将以π为例通过下列活动来探索：

(2)、【数学活动】
如图，直径为1的圆从原点出发沿数轴正方向滚动一周，圆上一点由原点O到达点O'，则OO′＝．

(3)、【知识推理】
判断：（填“正确”或“错误”）
①任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示．
②数轴上的点都表示有理数．
③整数和小数统称为有理数．

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22. 中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ （即有 $\frac{b}{a}$ ＜x＜ $\frac{d}{c}$ ，其中a，b，c，d为正整数），则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是x的更为精确的近似值.例如：已知 $\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$ ，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为 $\frac{157 + 22}{50 + 7} = \frac{179}{57}$ ；由于 $\frac{179}{57}$ ≈3.1404＜π，再由 $\frac{179}{57}$ $＜ π ＜ \frac{22}{7}$ ，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数 $\frac{201}{64}$ .

(1)、现已知 $\frac{11}{5} ＜ \sqrt{5} ＜ \frac{12}{5}$ ，
使用一次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；
使用二次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；
使用三次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；

(2)、 $\sqrt{5}$ 的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.

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【培优版】浙教版（2024）七上第三章 实数 单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

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