四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-14 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列函数求导运算正确的个数为（）
① ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ ② ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ ③ ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知函数 $f (x) = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \frac{1}{3} C_{n}^{3} x^{3} + \frac{1}{5} C_{n}^{5} x^{5} + \dots + \frac{1}{k} C_{n}^{k} x^{k} + \dots + \frac{1}{n} C_{n}^{n} x^{n}$ （k，n为正奇数）， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1) + f (0) =$ （）

A、 $2^{n}$ B、 $2^{n - 1}$ C、 $2^{n} + 1$ D、 $2^{n - 1} + 1$

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3. 从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（）

A、70 B、74 C、84 D、504

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4. 身高各不同的六位同学 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 站成一排照相，说法不正确的是（）

A、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B、 $A$ 与 $C$ 同学不相邻，共有 $A_{4}^{4} \cdot A_{5}^{2}$ 种站法 C、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三位同学必须站在一起，且 $A$ 只能在 $C$ 与 $D$ 的中间，共144种站法 D、 $A$ 不在排头， $B$ 不在排尾，共有504种站法

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5. 已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式第3项的系数是60，则下列结论中的正确个数（）
（1） $n = 6$ （2）展开式中常数项是160 （3）展开式共有6项（4）展开式所有项系数和是 $2^{6}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 设 $a \neq 0$ ，若 $x = a$ 为函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b)$ 的极小值点，则（　　）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a b < a^{2}$ D、 $a b > a^{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ，且 $f (0) = 2020$ ，则不等式 $f (x) - 2019 e^{x} < 1$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x} + c o s x + x^{2}$ ，若 $a = f (\sqrt{2})$ ， $b = f (- e_{}^{\frac{1}{e}})$ ， $c = f (π_{}^{\frac{1}{π}})$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中正确的有（）

A、以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B、5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有 $3^{5}$ 种； C、壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D、将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案.

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10. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x$ ， $g (x) = \sin x$ ，若 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有2个零点 B、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 恒在 $g (x)$ 的上方 C、若 $h (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a \geq 0$ D、若 $h (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有2个极值点，则 $- \frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$

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11. 定义：设 $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{^{'}} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + \frac{5}{3} (a b \neq 0)$ 的对称中心为 $(1, 1)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = - 1$ B、函数 $f (x)$ 既有极大值又有极小值 C、函数 $f (x)$ 有三个零点 D、过 $(- 1, \frac{1}{3})$ 可以作三条直线与 $y = f (x)$ 图象相切

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有种不同涂色方法；（用数字作答）

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13. 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是.

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14. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 $a$ 的方程 $a e^{a - 2} = e^{4}$ 和关于b的方程 $b (\ln b - 2) = e^{3 λ - 1} (a, b \in R^{+})$ 可化为同构方程，则 $a b$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 6 x + 3 (a \in R)$ ，且 $f^{'} (1) = - 6$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值和最小值．

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16. 已知 ${(1 - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，

(1)、求 $n$ 值和 ${(1 - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中含 $\frac{1}{x^{5}}$ 的项的系数.

(2)、求 ${(1 + x)}^{2}$ ${(1 - \frac{1}{2 x})}^{10}$ 展开式中常数项．

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17. 从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数，问：

(1)、能组成多少个没有重复数字的七位数？

(2)、上述七位数中三个偶数排在一起的概率？

(3)、在（1）中任意两偶数都不相邻的概率？

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 l n x}{x} + a (x^{2} - 1)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(1, e)$ 上存在零点，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{\sin x}{\cos^{3} x}, x \in (0, \frac{π}{2})$

(1)、当 $a = 8$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < \sin 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

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