浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期7月学考联考数学试题

试卷更新日期：2024-07-04 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, - 1]$

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2. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x| x^{2} - x - 2 = 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{- 2, 1, 2, 3, 4\}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A D} - \vec{B D} = \vec{0}$ B、 $\vec{A D} + \vec{D B} = \vec{0}$ C、 $\vec{C B} - \vec{C D} = \vec{B D}$ D、 $\vec{C A} + \vec{C B} = 2 \vec{C D}$

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4. 数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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5. 从数据 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7$ 中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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6. 已知空间中两个不重合的平面 $α$ 和平面 $β$ ，直线 $l \subset$ 平面 $α$ ，则“ $l // β$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 不等式 $\frac{1}{x - 1} + 1 \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2]$

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8. 近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = \frac{1}{2} \times {(\frac{4}{5})}^{\frac{G}{18}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $G$ 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： $lg 2 \approx 0.301$ ）（）

A、16 B、72 C、74 D、90

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9. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a = \sqrt{6}, B = 45^{\circ}, C = 75^{\circ}$ ，则 $b$ 等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x} - 2}$ ，则其图象一定不过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11. 已知 $α$ 为锐角，且 $sin (\frac{2 π}{5} cos α) = cos (\frac{2 π}{5} sin α)$ ，则 $sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{9}{16}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $M$ 在 $B_{1} C$ 上运动（不含端点），点 $N$ 在 $B_{1} D_{1}$ 上运动（不含端点），直线 $M N$ 与直线 $A C$ 所成的角为 $α$ ，直线 $M N$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成的角为 $β$ ，则下列关于 $α, β$ 的取值可能正确的是（）

A、 $α = 30 °$ B、 $α = 45 °$ C、 $β = 60 °$ D、 $β = 75 °$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）

13. 民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、样本数据落在区间 $[300, 500)$ 内的频率为0.45 B、若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有 $55 %$ 的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C、若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D、估计样本的中位数为480万元

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14. 已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ B、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$

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15. 已知平面向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1$ ，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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16. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 成中心对称图形 B、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 对任意的 $x$ 都有 $f (x + 2) + f (- x) = 2$ ，则函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(2, 2)$ C、若 $y = f (x + a)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称 D、若函数 $f (x)$ 满足 $y = f (x + 1) - 1$ 为奇函数，且其图象与函数 $g (x) = \frac{4}{2^{x} + 2}$ 的图象有2024个交点，记为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 2024)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$

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三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

17. 已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为；体积为．

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18. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角 $△ A B C$ 中， $A D$ 为斜边 $B C$ 上的高， $A B = 3, A C = 4$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折成 $△ A B^{'} D$ ，使得四面体 $A B^{'} C D$ 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为

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19. 设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{2}{3}, P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A \cup \bar{B}) =$ ．

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20. 若函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a > 1)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，则 $\frac{a + b + 1}{a - 1}$ 的最小值为．

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四、解答题（本大题共3小题，共33分）

21. 已知函数 $f (x) = sin 2 x - sin (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $b = 2, c = 3$ ，若 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 2 A_{1} C_{1} = 4, B C = 2 \sqrt{2}, C C_{1} = 2 \sqrt{5}, A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B_{1} ⊥ D C_{1}$ ．

(2)、过 $A_{1}, D, C_{1}$ 的平面把三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分成两部分，体积分别是 $V_{1}$ 和 $V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

(3)、求平面 $C C_{1} D$ 和平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成锐二面角的正切值．

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23. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \geq 0, \\ - 2 x, x < 0, \end{array} g (x) = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ ．

(1)、若 $f (x) \leq g (x)$ ，求 $x$ 的取值范围．

(2)、记 $max \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a (a \geq b), \\ b (a < b), \end{array}$ 已知函数 $y = max \{f (x), g (x)\} - a x - 2$ 有 $k$ 个不同的零点．
①若 $k = 2$ ，求 $a$ 的取值范围；
②若 $k = 3$ ，且 $α, β$ 是其中两个非零的零点，求 $\frac{1}{|α|} + \frac{1}{|β|}$ 的取值范围．

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