湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-12 类型：期末考试

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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.)

1. 设 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = - 2 - 2 i$ 则在复平面内 $z_{1} + z_{2}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在 $△ A B C$ 中 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C A}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$

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3. $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a, b, c$ ，若 $b = c = 1$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则角 $A$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上一点.若 $\overset{⃑}{A D} = 2 \overset{⃑}{D B}, \overset{⃑}{C D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{C A} + λ \overset{⃑}{C B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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5. 在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（）

A、中位数，平均分，方差均不变 B、中位数，平均分，方差均变小 C、中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D、中位数，平均分，方差都发生改变

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6. 正方形 $A B C D$ 的边长等于2，用斜二测画法画出水平放置的正方形 $A B C D$ 的直观图，则直观图的面积为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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7. 先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少二次正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8. 在一个封闭的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为V的球，若 $A B ⊥ B C$ ， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $A A_{1} = 5$ ，则球的体积的最大值为（）

A、 $\frac{125}{6} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $27 π$ D、 $36 π$

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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（）

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, 1)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 2, 1)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (- 3, 4)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, 6)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 1, - 3)$

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10. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系中正确的有（）

A、丙图中平均数大于中位数 B、乙图中平均数大于中位数 C、甲图中平均数和中位数应该大体上差不多 D、乙图中平均数小于中位数

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11. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A A_{1} = \sqrt{3} ， A D = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、长方体外接球的表面积等于 $7 π$ B、 $P$ 是线段 $B D$ 上的一动点，则 $P A + P B_{1}$ 的最小值等于3 C、点 $A_{1}$ 到平面 $点 C_{1} B D$ 的距离等于 $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ D、二面角 $A_{1} - B D - A$ 的正切值等于2

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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分).

12. 若复数 $z$ 满足 $z = 4 + 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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13. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $B D = 8$ ，则 $△ A B C$ 周长的最小值为.

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四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 5)$ ， $\vec{c} = (2 t + 1, t), (t \in R)$ .

(1)、若 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求t的值；

(2)、若 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为钝角，求t的取值范围.

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16. 某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了 $300$ 名学生进行笔试 $($ 试卷满分 $100$ 分 $)$ ，并记录下他们的成绩，将数据分成 $5$ 组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、求这部分学生成绩的众数与平均数 $($ 同组数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、估计这组数据的上四分位数；

(3)、为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 $4$ 、 $5$ 组中用分层抽样的方法抽取 $6$ 名学生，进行第二轮比赛，最终从这 $6$ 名学生中随机抽取 $3$ 人参加市安全知识竞赛，求 $90$ 分 $($ 包括 $90$ 分 $)$ 以上的同学恰有 $2$ 人被抽到的概率.

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17. 甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙都闯关成功的概率为 $\frac{2}{7}$ ，甲、丙都闯关成功的概率为 $\frac{3}{10}$ ，每人闯关成功记 $2$ 分，三人得分之和记为小组团体总分.

(1)、求乙、丙各自闯关成功的概率；

(2)、求在第一轮比赛中团体总分为 $4$ 分的概率；

(3)、若团体总分不小于 $4$ 分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $B C$ ∥ $A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， $P A = A D = 2$ .点E为PD的中点.

(1)、求证： $C E$ ∥平面PAB；

(2)、求证： $C D ⊥$ 平面PAC；

(3)、求三棱锥 $P - A C E$ 的体积.

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点O即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2 D C$ ， $B D = \sqrt{6}$ .

(1)、若 $\frac{2 \sin A - \sin C}{\sin C} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ .
①求 $B$ ；
②设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，当 $△ A B C$ 面积最大时，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(2)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1$ ， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数t的最小值.

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