四川省遂宁市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-07-17 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号
1
2
3
4
5
6
$x / cm$
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
$F / N$
3.08
3.76
4.31
5.02
5.51
6.25
据此给出以下结论：
①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关．
其中所有正确结论的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. 已知 $P (B |A) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{2}{15}$ ，则 $P (A) =$ （）

A、 $\frac{2}{45}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（）

A、 $A_{3}^{3} A_{4}^{4} A_{5}^{5}$ B、 $A_{4}^{4} A_{5}^{5} A_{6}^{6}$ C、 ${{(A}_{4}^{4})}^{2} A_{5}^{5} A_{3}^{3}$ D、 $A_{4}^{4} A_{5}^{5} {{(A}_{3}^{3})}^{2}$

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4. 某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布 $N (300, 25)$ ，则概率 $P (285 < X \leq 305)$ 为（）
参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$

A、0.8186 B、0.84 C、0.8785 D、0.9759

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5. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} + a)$ ， $a \in R$ 有大于 $- 1$ 的极值点，则a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0)$

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6. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中，各项系数和与含 $x^{3}$ 项的系数分别是（）

A、4092，495 B、8188，220 C、4092，220 D、8188，495

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7. 已知函数 $y = \frac{x}{e^{x}}$ 的最大值为a，令 $b = \lg \sin \frac{π}{7}$ ， $c = \ln \sqrt{2}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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8. 一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（）对异面直线

A、174 B、180 C、210 D、368

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（）

A、r的取值范围是 $[- 1, 1]$ B、r的取值范围是 $[0, 1]$ C、 $|r|$ 越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D、 $|r|$ 越接近0，表示两变量的线性相关程度越强

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10. 在一个大型公司中，技术部门员工占 $40 %$ ，非技术部门员工占 $60 %$ ．在技术部门中，有 $80 %$ 的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有 $60 %$ 的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是（）

A、抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为 $\frac{8}{25}$ B、抽到的员工持有硕士学位的概率为 $\frac{7}{10}$ C、若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为 $\frac{10}{17}$ D、若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为 $\frac{9}{17}$

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11. 对于可以求导的函数 $y = f (x)$ ，如果它的导函数 $y = f^{'} (x)$ 也是可导函数，那么将 $y = f^{'} (x)$ 的导函数记为 $y = f^{″} (x)$ ．如果 $y = f^{'} (x)$ 有零点，则称其为 $y = f (x)$ 的“驻点”；如果 $y = f^{″} (x)$ 有零点 $x = x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学对三次函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 和 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：（）

A、 $f (x)$ 在“驻点”处取得最值 B、 $g (x)$ 一定有“拐点”，但 $g (x)$ 不一定有“驻点” C、若 $y = f (x) - t$ 有3个零点，则 $- \frac{7}{3} < t < \frac{13}{6}$ D、存在实数m， $n (m < n)$ ，使得 $g (x)$ 对于任意不相等的两实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, n)$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) [g (x_{1}) - g (x_{2})] < 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知x，y之间的一组数据：
x
1
4
9
16
y
5.5
4
3.5
3
若y与x满足回归方程 $\hat{y} = b \sqrt{x} + 6$ ，则b的值为．

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13. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有种（用数作答）．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \cos x, x \in (0, \frac{π}{2}], \\ f^{'} (x - \frac{π}{2}), x \in (\frac{π}{2}, + \infty), \end{array}$ 则关于x的方程 $f (x) + \log_{95} x = 0$ 根的个数为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中所有的二项式系数之和为64．

(1)、求n的值；

(2)、求该展开式的常数项．

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16. 设 $x > 0$ ， $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，两个函数的图象如下图所示．

(1)、过点 $(0, - 1)$ 作 $f (x)$ 的切线l，求l的方程；

(2)、判断 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 之间的对应关系，根据这些关系，写出一个不等式，并证明．

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17. 竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80

(1)、若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
女生
合计

(2)、若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．

(1)、求一次数据能被软件准确分析的概率；

(2)、在连续 $n (n \geq 8)$ 次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时， $P (X = 8)$ 的值最大?

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} - x$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、判断 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，
①求a的取值范围；
②求证： $f (x_{0}) < \frac{3 - x_{0}}{2}$ ．

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编号	1	2	3	4	5	6
$x / cm$	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
$F / N$	3.08	3.76	4.31	5.02	5.51	6.25

学习竹编次数	0	1	2	3	4	5	6	合计
男	1	3	5	7	9	9	6	40
女	5	6	7	7	6	5	4	40
合计	6	9	12	14	15	14	10	80

性别	学习竹编		合计
性别	后起之秀	先锋	合计
男生
女生
合计

x	1	4	9	16
y	5.5	4	3.5	3

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635