北京市通州区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-07-20 类型：期末考试

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知全集 $U = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $A = {x \in Z | x^{2} < 4}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 3, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 3, - 2, 2, 3\}$

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2. 下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ B、 $f (x) = (x - 1) ^{2}$ C、 $f (x) = lg x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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3. 已知 $a = lg \frac{1}{2}$ ， $b = 3^{0.1}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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4. 设 $A$ ， $B$ 为两个随机事件，若 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ ， $P (A) = \frac{2}{5}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a b = 1$ ”是“ $a + b \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在 ${(x - 2)}^{10}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数为（）

A、 $- 64 C_{10}^{6}$ B、 $64 C_{10}^{6}$ C、 $- 16 C_{10}^{4}$ D、 $16 C_{10}^{4}$

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7. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为 $4 %$ ，第2台加工的次品率为 $5 %$ ，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为 $40 %$ ， $60 %$ ，现任取一件零件，则它是次品的概率为（）

A、0.044 B、0.046 C、0.050 D、0.090

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8. 某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工 $A$ 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（）

A、360种 B、300种 C、180种 D、120种

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9. 设函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线的斜率为10，则 $f^{'} (- 2) + f (- 2) =$ （）

A、 $- 16$ B、 $- 6$ C、6 D、16

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10. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x > 0 \\ x ^{2} + 2 x, x \leq 0 \end{array}$ ；若方程 $f (x) = a$ 恰有三个根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e})$ B、 $[0, \frac{1}{e}]$ C、 $(- 1, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}) \cup {- 1}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数 $f (x) = lg x + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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12. 不等式 $x ^{2} - x - 12 > 0$ 的解集是．

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13. 某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布 $N (90, 15^{2})$ ，则成绩位于 $[90, 105]$ 的人数大约是．
（参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ）

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14. 已知命题 $P$ ：函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x ^{2} + a, x \leq 0 \\ \sqrt{x} + b, x > 0 \end{array}$ 为 $R$ 上的增函数．能说明 $P$ 为假命题的一组 $a$ ， $b$ 的值为 $a =$ ， $b =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = | ln x | + b$ ，关于以下四个结论：
①函数 $f (x)$ 的值域为 $[b, + \infty)$ ；
②当 $a > b$ 时，方程 $f (x) = a$ 有两个不等实根；
③当 $b = 0$ ， $a > 0$ 时，设方程 $f (x) = a$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 为定值；
④当 $b = 0$ ， $a > 0$ 时，设方程 $f (x + 1) = a$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 0$ ．
则所有正确结论的序号为．

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b}{x} (a, b \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的最小值．

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17. 某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．

男生
女生
预习了所学内容
12
17
没预习所学内容
6
5
现从该班所有学生中随机抽取一人：

(1)、求抽到预习了所学内容的概率；

(2)、若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；

(3)、试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．

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18. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．

(1)、若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在 $[20, 60)$ 内的人数；

(2)、开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于 $[60, 80)$ 的概率；

(3)、用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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19. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量
销售周期个数
市场
3吨
4吨
5吨
甲
3
4
3
乙
2
5
3

(1)、从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；

(2)、以市场销售量的频率代替销售量的概率．设 $X$ （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量 $X$ 概率分布列；

(3)、在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进 $n$ 吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断 $n = 7$ 与 $n = 8$ 应选用哪一个．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线的斜率为1，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程；

(2)、定义：若 $\forall x \in [a, b]$ ，均有 $f (x) \leq g (x)$ ，则称函数 $g (x)$ 为函数 $f (x)$ 的控制函数．
① $\forall x \in [0, 1]$ ，试问 $g (x) = x$ 是否为函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ 的“控制函数”？并说明理由；
② $\forall x \in [0, 3]$ ，若 $g (x) = x + m$ 为函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ 的“控制函数”，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e ^{x - 1}}{x} + a ln x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、写出 $f (x)$ 的零点个数（直接写出结果）．

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	男生	女生
预习了所学内容	12	17
没预习所学内容	6	5