浙江省台州市路桥区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-19 类型：期末考试

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一、选择题 (本题有 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 请选出各题中一个符合题意的正确选项, 不选、多选、错选, 均不给分

1. 下列各数为无理数的是（）

A、1 B、-2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（）

A、调查某批次汽车的抗撞击能力 B、调查春节联欢晚会的收视率 C、调查台州市七年级学生的睡眠时间 D、调查某架飞机的零部件情况

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3. 在平面直角坐标系中，点 $(- 1,3)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 如图，直线 $a, b$ 被直线 $c$ 所截，下列条件中能判定 $a / / b$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ 2 + ∠ 3 = 180^{\circ}$ C、 $∠ 2 = ∠ 5$ D、 $∠ 4 = ∠ 5$

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5. 若 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $- \frac{a}{3} < - \frac{b}{3}$ B、 $a - 1 < b - 1$ C、 $3 a < 3 b$ D、 $a + 1 < b + 1$

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6. 实数 $a$ 所对应的点的位置如图所示，则 $a$ 可能是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{17}$

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7. 某校有空地 60 平方米，计划将其中 $90 %$ 的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的 2 倍少 3 平方米，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米? 设菜园的面积为 $x$ 平方米，葡萄园的面积为 $y$ 平方米，下列方程组正确的（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 60, \\ y = 2 x - 3 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 54, \\ y = 2 x - 3 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 60, \\ x = 2 y - 3 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 54, \\ x = 2 y - 3 \end{array}$

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8. 如图，直线 $A B, C D$ 相交于点 $O$ ，下列命题中，是真命题的是（）

A、若 $∠ A O M = ∠ B O M$ ，则 $M O ⊥ A B$ B、若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为对顶角 C、若 $M O ⊥ A B$ ，则 $O N ⊥ C D$ D、若 $∠ A O C + ∠ M O N = 180^{\circ}$ ，则 $∠ A O C$ 与 $∠ M O N$ 互为邻补角

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9. 2024 年台州市体育中考测试评分标准规定，男生 1000 米长跑用时不超过 3 分 40 秒为满分. 张华在离终点 200 米时已用时 3 分钟，要想得到满分，则他的速度 $v$ 应满足（）

A、 $v > 5$ 米/秒 B、 $v > 4$ 米/秒 C、 $v ⩾ 5$ 米/秒 D、 $v ⩾ 4$ 米/秒

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10. 工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 $a$ 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 $a$ 的值可能是（）

A、272 B、265 C、254 D、232

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二、填空题 (本题有 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分

11. 9的算术平方根是．

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12. 如图，要把河中的水引到农田 $P$ 处，若 $P B ⊥$ 河岸 $a$ ，垂足为点 $B$ ，则沿着线段 $P B$ 铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是.

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13. 某校用简单随机抽样的方法调查了学生最喜爱的四种球类运动，根据统计结果绘制成扇形统计图（如图），若样本中最喜欢乒乓球的有 30 人，则最喜欢篮球的有人。

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14. 在实数范围内规定新运算 " $△$ " $: a △ b = 2 a - b$ . 已知不等式 $x △ m \geq 2$ 的解集是 $x ⩾ - 1$ ，则 $m$ 的值是.

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15. 在《九章算术》的 "方程" 一章里，一次方程组是用算筹表示的. 如图 1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 $x, y$ 的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示就是 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 19, \\ x + 4 y = 23, \end{array}$ 则图2 的算筹图所表示的方程组的解为。

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16. 起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理.图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $A^{^{'}}$ 的位置上， $A^{^{'}} E$ 与 $D C$ 交于点 $F$ （如图 2). 第二步将纸条沿 $E G$ 折叠，使点 $B, C$ 分别落在直线 $E F$ 的右侧点 $B^{^{'}}, C^{^{'}}$ 的位置上 (如图 3). 若 $∠ A E D = 34^{\circ}, E D / / B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，则 $∠ E G F =$ 。

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三、解答题 (本题有 8 小题, 第17-21题每题 8 分, 第 22,23 题每题 10 分, 第 24 题 12 分, 共 72 分

17.

(1)、计算： $2 \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt[3]{8}$ ；

(2)、解方程组： $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 3, \\ 3 x + y = 4 . \end{array}$

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18. 解不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 < - 1, \\ 2 x + 9 > 3, \end{array}$ 并把它的解集在数轴上表示出来.

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19. 如图 1 是路桥区地图的一部分，其示意图如图 2. 分别以正东、正北方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园 $A$ 的坐标为 $(2,1)$ .

(1)、分别写出路桥区政府 $B$ ，街心公园 $C$ 的坐标；

(2)、连接 $A C$ ，平移线段 $A C$ ，使点 $A$ 和点 $B$ 重合，在图 2 中画出点 $C$ 的对应点 $D$ ，并写出点 $D$ 的坐标.

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20. 完成下面的证明.
如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2, ∠ 4 = ∠ B, ∠ A D F = 90^{\circ}$ ，求证： $G F ⊥ B C$ .
证明： $∵ ∠ 4 = ∠ B$ (已知)，
$∴ A B / / D E ($ ▲).
$∴ ∠ 2 = ∠ 3$ (▲).
$∵ ∠ 1 = ∠ 2$ (已知)，
$∴ ∠ 1 = ∠ 3$ (等量代换).
$∴ A D / /$ ▲ (同位角相等，两直线平行).
$∴ ∠ A D F + ∠ G F D = 180^{\circ}$ （▲）
又 $∵ ∠ A D F = 90^{\circ}$ (已知)，
$∴ ∠ G F D = 90^{\circ}$ .
$∴ G F ⊥ B C$ (垂直的定义).

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21. 某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的 60 名学生的数学成绩 (单位：分) 绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为 5 组， A： $50 \leq x < 60, B : 60 \leq x < 70, C : 70 \leq x < 80, D : 80 \leq x < 90$ ， E： $90 \leq x \leq 100$ .

(1)、请补全频数分布直方图；

(2)、本次考试的数学成绩在 ▲ 组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比；

(3)、为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为 $m < x \leq 100$ 的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中， D 组的 11 名学生的成绩依次为： $80,80,82,82,83,83,85,86,87,88,89$ .若要将占总人数 $15 %$ 的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的 $m$ 的值，并说明理由.

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22. 如图，已知 $C D / / B E, ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}$ .

(1)、求证： $E F / / B C$ ；

(2)、若 $∠ C B E = ∠ A B E, ∠ 1 = 136^{\circ}$ ，求 $∠ E F A$ 的度数.

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23. 【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数 $k = 1.2 N / c m$ 的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计.
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为 $L_{0}$ . 如图 2，弹簧受到拉力 $F$ 后的长度记为 $L$ ，则弹簧伸长的长度 $x = L - L_{0}$ . 已知弹簧发生弹性形变时，拉力 $F$ 的大小跟弹簧伸长的长度 $x$ 成正比，即 $F = k x, k$ 为弹簧的弹性系数。
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：如图 3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度 $L_{1} = 3 c m$ 。如图4，当弹簧末端悬挂两个钧码时，弹簧的长度 $L_{2} = 5 c m$ .

(1)、任务 1：①图3 中弹簧伸长的长度 $x$ =cm ；（用含 $L_{0}$ 的式子表示）
②图 4 中弹簧伸长的长度 $x =$ cm ；（用含 $L_{0}$ 的式子表示）

(2)、求弹簧的原长 $L_{0}$ .

(3)、【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度 $x$ 的最大值是 10 cm .任务 2：求该弹簧测力计的量程（测量范围）。

(4)、【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力.任务 3：补全刻度设计方案。
将 0 刻度放在距离木板上端 $L_{0} cm$ 处，每隔 0.1 cm 标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 ▲ N .

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24. 在平面直角坐标系中， $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2}), x_{1} \neq x_{2}$ ，如果 $y_{2} - y_{1} = m (x_{2} - x_{1})$ ，那么称点 $Q$ 是点 $P$ 的 $m$ 阶 "生长点". 例如：点 $P (2,1), Q (1, - 1), ∵ - 1 - 1 = m$ (1-2)， $∴ m = 2 . ∴$ 点 $Q$ 是点 $P$ 的 2 阶 "生长点".如图，已知点 $O (0,0), A (1,2), B (2,0)$ .

(1)、点 $B$ 是点 $A$ 的阶 "生长点"；

(2)、已知点 $C (b, y_{1})$ 是点 $A$ 的 2 阶 "生长点"，点 $D (b, y_{2})$ 是点 $B$ 的 3 阶 "生长点".
①若三角形 $O B C$ 的面积为 4 ，求点 $C$ 的坐标；
②若 $C D = 1$ ，求 $b$ 的值；

(3)、若点 $C (b, y_{1})$ 是点 $B$ 的 1 阶 "生长点"，点 $D (b, y_{2})$ 是点 $O$ 的 $m$ 阶 "生长点"，当 $b > - 1$ 时总有 $y_{2} > y_{1}$ ，则 $m$ 的取值范围为 (第 24 题)

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