浙江省宁波市江北区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-19 类型：期末考试

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一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分

1. 为配合大阅读活动，学校对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理，要反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（）

A、条形统计图 B、频数直方图 C、折线统计图 D、扇形统计图

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2. 要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x < 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x > 1$

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3. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为 0.0000061 米，将数据 0.0000061 用科学记数法表示正确的是 ( )

A、 $6.1 \times 10^{- 5}$ B、 $0.61 \times 10^{- 3}$ C、 $6.1 \times 10^{- 6}$ D、 $0.61 \times 10^{- 6}$

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4. 计算 $a^{6} \div (- a^{2})$ 的结果是 ( )

A、 $a^{3}$ B、 $a^{4}$ C、 $- a^{3}$ D、 $- a^{4}$

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5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 4 y^{2}$ B、 $- x^{2} + 4 y^{2}$ C、 $x^{2} - 2 y + 1$ D、 $- x^{2} - 4 y^{^{'}}$

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6. 若方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 4 y = 2 \\ x = 2 y - 1 \end{array}$ 用代入法消去 $x$ ，所得关于 $y$ 的一元一次方程为（）

A、 $3 - 2 y - 1 - 4 y = 2$ B、 $3 (1 - 2 y) - 4 y = 2$ C、 $3 (2 y - 1) - 4 y = 2$ D、 $3 - 2 y - 4 y = 2$

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7. 已知直线 $a / / b$ ，将一块含 $60^{\circ}$ 角的直角三角板按如图方式放置，其中 $60^{\circ}$ 角的顶点在直线 $a$ 上， $30^{\circ}$ 角的顶点在直线 $b$ 上，若 $∠ 1 = 40^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $50^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$

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8. 已知关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + m x - n$ 分解因式的结果为 $(x - 4) \cdot (x - 2)$ ，则 $m$ 和 $n$ 的值分别是（）

A、 $m = 8, n = 2$ B、 $m = - 6, n = - 8$ C、 $m = 6, n = 8$ D、 $m = - 8, n = - 2$

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9. 已知 a 是实数，若分式方程 $\frac{3 x + a}{x + 2} = 1$ 无解，则 a 的值为 ( )

A、6 B、3 C、0 D、-3

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10. 若 $A = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) + 2$ ，则 $A$ 的末位数字是 ( )

A、6 B、7 C、3 D、5

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二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）

11. 计算： $2^{0} =$ ．

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12. 将容量为 100 的样本分成 3 个组，第一组的频数是 30 ，第二组的频率是 0.4 ，那么第三组的频率是。

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13. 如果两数x，y满足 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 9 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{array}$ ，那么 $x - y =$ ．

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14. 因式分解： $x^{2} y - 16 y$ .

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15. A， B 两市相距 200 km ，甲车从 A 市到 B 市，乙车从 B 市到 A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快 $15 k m / h$ ，且甲车比乙车早半小时到达目的地，若设乙车的速度是 x $k m / h$ ，则根据题意，可列方程为.

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16. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则 $∠ a$ 的度数等于.

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17. 若 $x^{2} + 4 x - 4 = 0$ ，则 $3 (x - 2)^{2} - 6 (x + 1) (x - 1)$ 的值为。

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18. 如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为.

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三、解答题（共 46 分）

19. 计算：

(1)、 $(x + 2)^{2} - (x + 1) (x - 1)$

(2)、先化简，再求值： $\frac{2 a}{a^{2} - 4} \cdot \frac{a - 2}{a} + \frac{3 a}{a + 2}$ ，再从 $0,1, 2$ 三个数中选一个代入求值.

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20. 解方程 (组)

(1)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 2 \\ x + 2 y = 6 \end{array}$

(2)、 $\frac{2 - x}{x - 3} - \frac{1}{3 - x} = 2$ .

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21. 某校为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：

(1)、补全条形统计图；

(2)、求扇形统计图扇形 D 的圆心角的度数；

(3)、若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业?

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22. 已知：如图点 $C$ 在 $∠ M O N$ 的一边 $O M$ 上，过点 $C$ 的直线 $A B / / O N$ ， CD 平分 $∠ A C M, C E ⊥ C D$ .

(1)、若 $∠ O = 50^{\circ}$ ，求 $∠ B C D$ 的度数；

(2)、求证： $C E$ 平分 $∠ O C A$ ；

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23. 某公司捐助的一批物资120 吨打算运往上海，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量 (吨/辆)
5
8
10
汽车运费 (元/辆)
400
500
600

(1)、若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200 元，问分别需甲、乙两种车型各几辆?

(2)、为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为 14 辆，你能分别求出三种车型的辆数吗? 此时的运费又是多少元?

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24. 阅读材料
若两个正数 $a, b$ ，则有下面不等式 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ ，当 $a = b$ 时取等号，我们把 $\frac{a + b}{2}$ 叫做正数 $a, b$ 的算术平均数，把 $\sqrt{a b}$ 叫做正数 $a, b$ 的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于 (即大于或等于) 它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。
不等式 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ 可以变形为不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取到等号. ( $a, b$ 均为正数)
例：已知 $x > 0$ ，求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值.
解：由 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 得 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x ∙ \frac{1}{x}} = 2 \times \sqrt{1} = 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ ，即 $x = 1$ 时，有最小值，最小值为 2
根据上面材料回答下列问题：

(1)、 $5 + 6$ 2 $\sqrt{5 \times 6}; 6 + 6$ $2 \sqrt{6 \times 6}$ ；（用 "=" "〈" "〉" 填空）

(2)、当 $x > 0$ ，则 $x + \frac{9}{x}$ 的最小值为，此时 $x =$ 。

(3)、当 $x > 2$ ，则 $x + \frac{9}{x - 2}$ 的最小值为.

(4)、用篱笆围一个面积为 $100 m^{2}$ 的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时所用的篱笆最短，最短篱笆是多少?

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车型	甲	乙	丙
汽车运载量 (吨/辆)	5	8	10
汽车运费 (元/辆)	400	500	600