江西省赣州市大余县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-19 类型：期末考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各式是最简二次根式的是( )

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{13}{3}}$

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2. 在直角三角形中，两条直角边长分别为 $2$ 和 $3$ ，则其斜边长为( )

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{11}$ 或 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$ 或 $\sqrt{7}$

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3. 下列计算正确的是( )

A、 $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} = 7$ B、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ C、 $5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} = 5 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{4 \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. 甲、乙、丙、丁四名学生 $5$ 次百米赛跑的平均成绩 $($ 单位：秒 $) \bar{x}$ 及其方差 $S^{2}$ 如下表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是( )

甲
乙
丙
丁

$\bar{x}$

$12$

$11.5$

$12$

$11.5$

$S^{2}$

$0.2$

$1.3$

$1.5$

$0.2$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 如图，▱ $A B C D$ 的周长是 $32 c m$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C ⊥ A B$ ， $E$ 是 $B C$ 中点， $△ A O D$ 的周长比 $△ A O B$ 的周长多 $4 c m$ ，则 $A E$ 的长度为( )

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $8 c m$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，▱ $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上，顶点 $B$ 的坐标为 $(6,4) .$ 若直线 $l$ 经过点 $(1,0)$ ，且将▱ $O A B C$ 分割成面积相等的两部分，则直线 $l$ 的函数解析式是( )

A、 $y = x + 1$ B、 $y = \frac{1}{3} x + 1$ C、 $y = 3 x - 3$ D、 $y = x - 1$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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8. 若关于 $x$ 的函数 $y = (m - 1) x^{| m |} - 5$ 是一次函数，则 $m$ 的值为．

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9. 计算一组数据的方差的式子为 $S^{2} = \frac{1}{8} [(x_{1} - 4)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 4)^{2} + \dots + (x_{8} - 4)^{2}]$ ，则该组数据共个数据．

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10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线 $y = 2 x - 1$ 与直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 相交于点 $P (2,3) .$ 根据图象可知，方程组 $\{\begin{array}{l} y = 2 x - 1 \\ y = k x + b \end{array}$ 的解为．

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11. 如图，在长方形 $A B C D$ 中 $A B = 6 c m$ ， $A D = 18 c m$ ，将此长方形折叠，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，折痕为 $E F$ ，则 $B F =$ $c m$ ．

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12. 在直角坐标系中，已知 $A (1,0)$ ， $B (- 1, - 2)$ ， $C (2, - 2)$ 三点坐标，若以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的四边形是平行四边形，那么点 $D$ 的坐标可以是．

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三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13.

(1)、计算： $(2 \sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{20} + \sqrt{45}$ ；

(2)、在▱ $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $C D$ 的中点， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 求 $O E$ 的长．

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14. 如图，在▱ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，求证：BE平分∠ABC．

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15. 已知直线 $l$ 的解析式为 $y = - 2 x + 4$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 的坐标，且在平面直角坐标系内画出直线 $l$ 的图象；

(2)、求点 $O$ 到直线 $l$ 的距离．

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16. 在网格纸上，每个小正方形的边长为单位 $1$ ，用无刻度的直尺作图：

(1)、在图 $1$ 中，画一个面积为 $20$ 的菱形，且四个顶点都落在格点上；

(2)、在图 $2$ 中，画一个面积为 $20$ 的菱形，且四个顶点都不在格点上．

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 上一点，且 $C F = \frac{1}{4} C D$ ．

(1)、求证： $∠ A E F = 90 °$ ；

(2)、计算 $△ A E F$ 的面积．

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18. 小芳解答问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”的过程如下：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小芳的解答过程，解决下列问题：

(1)、 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $4 a^{2} - 8 a - 1$ 的值；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{121} + \sqrt{119}}$ ．

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19. 6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分数

人数

年级

100

七年级

八年级

分析数据：

	平均数	中位数	众数	方差
七年级	89	b	90	39
八年级	c	90	d	30

根据以上信息回答下列问题：

(1)、请直接写出表格中a，b，c，d的值；

(2)、通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

(3)、该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？

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20. 某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示

(1)、请直接写出y与x之间的函数解析式；

(2)、若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用.

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21. 【课本再现】

思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．

(1)、【定理证明】
为了证明该定理，小明同学画出了图形

(

如图

(1))

并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在▱

A B C D

中，对角线

A C

，

B D

相交于点

O

，且

A C = B D

，求证：▱

A B C D

是矩形，

(2)、【知识应用】
如图

(2)

在▱

A B C D

中对角线

A C

和

B D

相交于点

O

，

O A = O B

．

①

求证：▱

A B C D

是矩形；

②

若

A B = 3

，

A D = 4

，

P

是

A D

边上不与

A

和

D

重合的一个动点，过点

P

分别作

A C

和

B D

的垂线，垂足为

E

，

F

，求

P E + P F

的值．

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22. 如图所示的是一次函数 $l$ ： $y = k x + b$ 的图象，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、填空： $k$ $0$ ， $b$ $0 ($ 填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ；

(2)、若 $A (- 2,0)$ ， $B (0,3)$ ，用待定系数法求直线 $l$ 的解析式；

(3)、若将直线 $l$ 向下平移 $2$ 个单位长度，再向左平移 $1$ 个单位长度，发现图象回到 $l$ 的位置，求 $k$ 的值．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $B$ 在 $C$ 的左边， $B A = B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 关于 $A C$ 作轴对称，得四边形 $A B C D . P$ 是对角线 $A C$ 上的动点， $E$ 是直线 $B C$ 上的动点，且 $P E = P B$ ．

(1)、四边形 $A B C D$ 如图 $1$ 所示，四边形 $A B C D$ 是 $($ 填“矩形”或“菱形”或“正方形” $)$ ； $∠ D P E$ $∠ A B C ($ 填“ $=$ ”或“ $\neq$ ” $)$ ；

(2)、四边形 $A B C D$ 如图 $2$ 所示，且 $∠ A B C = 90 °$ ，四边形 $A B C D$ 是_▲_ $($ 填“矩形”或“菱形”或“正方形” $)$ ； $(1)$ 中 $∠ D P E$ 与 $∠ A B C$ 之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．

(3)、四边形 $A B C D$ 如图 $3$ 所示，若 $∠ A C B = α$ ， $∠ P E B = β$ ，请直接写出 $∠ D P B$ 的度数 $. ($ 用含 $α$ 、 $β$ 的代数式表示 $)$

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	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$	$12$	$11.5$	$12$	$11.5$
$S^{2}$	$0.2$	$1.3$	$1.5$	$0.2$