浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高一上学期期末教学质量调测数学试题

试卷更新日期：2024-02-26 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

查看试题解析
3. 已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 3$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $24 \sqrt{2}$ D、 $36 \sqrt{2}$

查看试题解析
4. 大善塔，位于绍兴市区城市广场东南隅，是绍兴城地标性建筑，其塔顶部可以近似地看成一个正六棱锥.假设该六棱锥的侧面和底面的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则该六棱锥的高和底面边长之比为（）

A、 $2 : 3$ B、 $1 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $3 : 1$

查看试题解析
5. 某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ .记两个班总成绩的方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $s^{2} \geq \frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}$ B、 $s^{2} \geq \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$ C、 $s^{2} = \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$ D、 $s^{2} \leq \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$

查看试题解析
6. 有一座6层大楼，3人从大楼第一层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这3人离开电梯的层数之和为10的概率是（）

A、 $\frac{4}{125}$ B、 $\frac{3}{25}$ C、 $\frac{24}{125}$ D、 $\frac{12}{25}$

查看试题解析
7. 已知点 $P$ 是边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的动点，若直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角大小为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (4 + π)$ D、 $2 \sqrt{2} + \frac{π}{2}$

查看试题解析
8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点 $.$ 当三角形三个内角都小于 $\frac{2}{3} π$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2}{3} π .$ 已知在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{2}$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $| P B | = 1$ ， $| P A | + | P C | = λ$ ，则 $λ$ 的取值范围是( )

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[2 - \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[1 + 2 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $[2 + 2 \sqrt{3}, + \infty)$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下面给出的关系式中，不正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Rightarrow \vec{b} = \vec{c}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b}$

查看试题解析
10. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ B、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在一条直线上

查看试题解析
11. 下列命题正确的是（）

A、对于事件 $A$ ， $B$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、若三个事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$ C、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件 $A$ ， $B$ 相互独立与互斥不会同时发生 D、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{3}{5}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{9}{10}$

查看试题解析
12. 如图棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是正方体表面上一动点，点 $Q$ 为 $△ A C E$ 内（不含边界）的一点，若 $B P //$ 平面 $A C E$ ，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A C E$ 与线段 $C_{1} D_{1}$ 的交点为线段 $C_{1} D_{1}$ 的中点 B、 $P$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ C、三棱锥 $Q - A C P$ 体积存在最大值 D、直线 $D P$ 与直线 $A Q$ 所成角的余弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{17}}{9}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3, 2)$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

查看试题解析
14. 已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，则点 $O$ 的轨迹必通过 $△ A B C$ 的.（填：内心，外心，垂心，重心）

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 分别对应边 $a, b, c$ ， $∠ A = \frac{5 π}{6}$ ， $a = 1$ ，已知函数 $f (b, c) = b + t c$ ，若 $f (b, c)$ 存在最大值，则正数 $t$ 的取值范围是.

查看试题解析
16. 已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ P B$ 交 $P B$ 于 $D$ ， $A E ⊥ P C$ 交 $P C$ 于 $E$ ， $P A = A B = 1$ ，记三棱锥 $P - A D E$ ，四棱锥 $A - D E C B$ 的外接球的表面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当三棱锥 $P - A D E$ 体积最大时，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ .

(1)、当 $λ = 1$ ，求 $|\vec{c}|$ ；

(2)、当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求 $λ$ 的值.

查看试题解析
18. 《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：

(1)、求该项指标的第30百分位数；

(2)、若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值 $x$ ，将该指标小于 $x$ 的汽车认为符合节能要求，已知 $x \in [90, 100]$ ，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率 $f (x)$ .

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B D C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $P D^{2} - P B^{2} = 19$ ， $P B = P A$ ， $A B = A C = 6$ ， $C D = 5$ ， $B D = \sqrt{85}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E P ⊥$ 平面 $A B D C$ ；

(2)、当直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ 时，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

(1)、证明： $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{2}{\tan C}$ ；

(2)、求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 某班学生分A， $B$ ， $C$ ， $D$ 四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，出现平局的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每场比赛相互独立.

(1)、求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；

(2)、一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.

查看试题解析
22. 如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $E$ 是线段 $A B$ 上的一点， $B E = C D = C E = \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折到 $△ P D E$ 的位置.

(1)、如图2，若二面角 $P - E D - B$ 为直二面角， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $P E$ 的中点，若直线 $M N$ 与平面 $P B C$ 所成角为 $θ$ ， $\sin θ > \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $P E C$ 所成锐二面角的余弦值的取值范围；

(2)、我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 $K$ 为线段 $C E$ 的中点， $G$ ， $H$ 分别在线段 $P K$ ， $C D$ 上（不包含端点），且 $G H$ 为 $P K$ ， $C D$ 的公垂线，如图3所示，记四面体 $C K G H$ 的内切球半径为 $r$ ，证明： $\frac{1}{r} > 2 (\frac{1}{K G} + \frac{1}{C H})$ .

查看试题解析