北京市通州区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-11 类型：期末考试

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 复平面内点 $A (1, - 2)$ 所对应复数的虚部为（）

A、1 B、 $- 2$ C、 $i$ D、 $- 2 i$

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2. 样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（）

A、7 B、6 C、4 D、2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{b}$ 可以是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(1, - 2)$

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4. 在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A = \frac{π}{6}, a = 1, b = \sqrt{2}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知圆锥的底面半径是1，高为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的侧面积是（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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6. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 在下列关于直线 $l 、 m$ 与平面 $α 、 β$ 的命题中，真命题是（）

A、若 $l \subset β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ β$ ，且 $α / / β$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $l / / α$

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8. 一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A、2个小球恰有一个红球 B、2个小球至多有1个红球 C、2个小球中没有绿球 D、2个小球至少有1个红球

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9. 一个长为 $2 \sqrt{2}$ ，宽为 $2$ 的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，依次沿 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ ， $D B$ 折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $1$ D、 $2$

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10. 达 $\cdot$ 芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{7}{12}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 设复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为．

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12. 从写有数字 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是．

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13. 已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边，若 $b = 5$ ， $c = 4$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 10$ ，则 $A$ = ， $△ A B C$ 的面积为．

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14. 在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $D C$ 边上一点，且 $D E = 2 E C$ ，点 $F$ 为 $A E$ 的延长线上一点，写出可以使得 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ 成立的 $λ$ ， $μ$ 的一组数据 $(λ, μ)$ 为．

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $E$ ， $F$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是．
①直线 $D_{1} D$ 与直线 $A F$ 相交；
②当 $0 < C F < \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为四边形；
③当 $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点时，平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ ；
④当 $C F = \frac{3}{4}$ 时，截面 $S$ 与 $A_{1} D_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 分别交于 $M, N$ ，则 $M N = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = - \vec{a}$ ，求证： $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线．

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17. 在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求：

(1)、两人都通过体质健康测试的概率；

(2)、恰有一人通过体质健康测试的概率；

(3)、至少有一人通过体质健康测试的概率．

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18. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点．求证：

(1)、 $B D ∥$ 平面 $C_{1} E F$ ；

(2)、 $E F ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $B_{1} - C_{1} E F$ 的体积．

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19. 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
选考情况
第1门
第2门
第3门
第4门
第5门
第6门
物理
化学
生物
历史
地理
政治
高一选科人数
80
70
35
20
35
60
高二选科人数
60
45
55
40
40
60
高三选科人数
50
40
60
40
40
70

(1)、已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；

(2)、现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；

(3)、假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为 $P_{k} (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，当 $P_{k}$ 取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）

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20. 在△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边为 $a, b, c$ ， △ $A B C$ 的面积为S，且 $S = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c - b = 2 b cos A$ ，试判断△ $A B C$ 的形状，并说明理由．

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21. 如图，七面体 $A B C D E F$ 中，菱形 $A B C D$ 所在平面与矩形 $A C E F$ 交于 $A C$ ，平面 $C D F$ 与平面 $A B F$ 交于直线 $l$ ．

(1)、求证： $A B / / l$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当 $\frac{B D}{A F}$ 为何值时，平面 $D E F ⊥$ 平面 $B E F$ ？并证明你的结论．
条件①： $平面 A B C D ⊥ 平面 A C E F$ ；
条件②： $C E ⊥ A B$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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选考情况	第1门	第2门	第3门	第4门	第5门	第6门
选考情况	物理	化学	生物	历史	地理	政治
高一选科人数	80	70	35	20	35	60
高二选科人数	60	45	55	40	40	60
高三选科人数	50	40	60	40	40	70