北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研（二）数学试卷

试卷更新日期：2024-07-20 类型：期末考试

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一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = - 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $4$ C、 $- 3$ D、 $- 8$

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2. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (1) = f^{'} (3)$ C、 $f^{'} (1) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) + f^{'} (3) > 0$

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3. 如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ ，则 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ 中最大的是（）

A、 $r_{1}$ B、 $r_{2}$ C、 $r_{3}$ D、 $r_{4}$

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4. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = - 3$ ， $S_{5} = - 10$ ，使 $S_{n}$ 最小的 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、4或5

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5. 要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（）

A、 $72$ 种 B、 $120$ 种 C、 $96$ 种 D、 $60$ 种

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6. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（）

A、 $15$ B、 $60$ C、 $6$ D、 $12$

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7. 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是 $\frac{4}{15}$ ，刮风的概率为 $\frac{2}{15}$ ，既刮风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$ . 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（）

A、 $\frac{8}{225}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高 $x$
174
170
173
169
182
172
180
172
168
166
182
173
164
180
儿子身高 $y$
176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
父亲身高的平均数记为 $\bar{x}$ ，儿子身高的平均数记为 $\bar{y}$ ，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.839 x + 28.957$ .则下列结论中正确的是（）

A、 $y$ 与 $x$ 正相关，且相关系数为 $0.839$ B、点 $(\bar{x}, \bar{y})$ 不在回归直线上 C、 $x$ 每增大一个单位， $\hat{y}$ 增大 $0.839$ 个单位 D、当 $x = 176$ 时， $\hat{y} \approx 177$ .所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm

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9. 设随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（）
$X$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$P$
$p_{1}$
$p_{2}$
$p_{3}$
$p_{4}$
$p_{5}$
$p_{6}$

A、 $P (X \geq 4) = 1 - P (X \leq 3)$ B、随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ 可以等于 $3.5$ C、当 $p_{n} = \frac{1}{2^{n}} (n = 1, 2, 3, 4, 5)$ 时， $p_{6} = \frac{1}{2^{5}}$ D、数列 $\{p_{n}\}$ 的通项公式可以为 $p_{n} = \frac{1}{n (n + 1)} (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$

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10. 已知数列 $A$ ： $1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, \dots$ ，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$ ，依此类推. $S_{n}$ 是数列 $A$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2^{t} (t \in N^{*})$ ，则 $n$ 的值可以等于（）

A、 $16$ B、 $95$ C、 $189$ D、 $330$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 若 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (4) =$ .

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12. 若 ${(x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{3} =$ .

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13. 为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答 $20$ 个问题，记分规则是：每答对一题得 $5$ 分，答错一题扣 $3$ 分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取 $1$ 名，设其答对的问题数量为 $X$ ，最后得分为 $Y$ 分．当 $X = 10$ 时， $Y$ 的值为；若 $P (Y \geq 60) = 0.7$ ，则 $P (X < 15) =$ .

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14. 设无穷数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = - n^{2} + λ n + 3 (λ > 2)$ .若 ${a_{n}}$ 是单调递减数列，则 $λ$ 的一个取值为.

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15. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 1, x \leq 0 \\ \ln x - (a - 2) x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 在定义域上单调递增；
②对任意 $a > 0$ ， $f (x)$ 存在极值；
③对任意 $a > 2$ ， $f (x)$ 存在最值；
④设 $f (x)$ 有 $n$ 个零点，则 $n$ 的取值构成的集合是 ${1, 2, 3, 4}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 5$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{14} = b_{4}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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17. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + a$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $f (x)$ 的极小值为 $- 10$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的最大值．

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18. 袋子中有 $5$ 个大小和质地相同的小球，其中 $3$ 个白球， $2$ 个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.

(1)、求第一次摸到白球的概率；

(2)、求第二次摸到白球的概率；

(3)、求两次摸到的小球颜色不同的概率.

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19. 人工智能（简称 $A I$ ）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的 $A I$ 软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款 $A I$ 软件的使用情况，从该地区随机抽取了 $120$ 名大学生，统计他们最喜爱使用的 $A I$ 软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数
$40$
$20$
$40$
$20$
假设大学生对 $A I$ 软件的喜爱倾向互不影响.

(1)、从该地区的大学生中随机抽取 $1$ 人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；

(2)、采用分层抽样的方式先从 $120$ 名大学生中随机抽取 $6$ 人，再从这 $6$ 人中随机抽取 $2$ 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从该地区的大学生中随机抽取 $2$ 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 $Y$ ， $Y$ 的方差记作 $D (Y)$ ，（2）中 $X$ 的方差记作 $D (X)$ ，比较 $D (X)$ 与 $D (Y)$ 的大小.
（结论不要求证明）

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20. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对于任意的 $x \in [2, + \infty)$ ，有 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 若数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} - a_{n} > 1$ ，则称 ${a_{n}}$ 是“ $P$ 数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ， $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，判断 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 是否是“ $P$ 数列”；

(2)、已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 2$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 ${a_{n}}$ 是“ $P$ 数列”，且 $S_{n} < 3 n^{2} + 2 n$ 恒成立，求公差 $d$ 的取值范围；

(3)、已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正整数的等比数列， $a_{1} = 1$ ，记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3}, c_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n}$ ，若 ${a_{n}}$ 是“ $P$ 数列”， ${b_{n}}$ 不是“ $P$ 数列”， ${c_{n}}$ 是“ $P$ 数列”，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
父亲身高 $x$	174	170	173	169	182	172	180	172	168	166	182	173	164	180
儿子身高 $y$	176	176	170	170	185	176	178	174	170	168	178	172	165	182

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$p_{4}$	$p_{5}$	$p_{6}$

软件功能	视频创作	图像修复	语言翻译	智绘设计
大学生人数	$40$	$20$	$40$	$20$