2016年安徽省“江淮十校”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合M={x|lnx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=（）

A、（1，2] B、[1，2） C、（1，2） D、[1，2]

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2. 已知z是纯虚数，i为虚数单位， $\frac{z + 2}{1 - i}$ 在复平面内所对应的点在实轴上，那么z等于（）

A、2i B、i C、﹣i D、﹣2i

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3. 某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了15分到45分之间的1000名学员的成绩，并根据这1000名驾驶员的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[30，35）内的驾驶员人数共有（）

A、60 B、180 C、300 D、360

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4. 数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且a₁ ， a₃ ， a₇为等比数列{b_n}的连续三项，则数列{b_n}的公比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）

A、120 B、240 C、360 D、480

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6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 若将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣ $\frac{1}{2}$ 的图象向右平移φ个单位，所得函数是奇函数，则φ的最小正值是（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{8}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{8}$

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8. 如果实数x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，则z=x²+y²﹣2x的最小值是（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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9. 二项式（ $\frac{1}{x}$ ﹣x）⁹的展开式中x³的系数是（）

A、84 B、﹣84 C、126 D、﹣126

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10.
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{6 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

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11. 将双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x²﹣y²=4的“黄金三角形”的面积是（）

A、 $\sqrt{2}$ ﹣1 B、2 $\sqrt{2}$ ﹣2 C、1 D、2

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12. 设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）= $\frac{x}{e^{x}}$ ，a=f（ $\frac{2015}{3}$ ），b=f（ $\frac{2016}{5}$ ），c=f（ $\frac{2017}{7}$ ），则（）

A、b＜c＜a B、a＜b＜c C、c＜a＜b D、b＜a＜c

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，0）， $\vec{b}$ =（0， $\sqrt{3}$ ），若向量 $\vec{c}$ 满足（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{c}$ ）•（ $\vec{b}$ ﹣ $\vec{c}$ ）=0，则| $\vec{c}$ |的最大值是．

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14. 若f（x）=log_3a[（a²﹣3a）x]在（﹣∞，0）上是减函数，则实数a的取值范围是．

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15. 在平面直角坐标系中，定义两点A（x_A ， y_A），B（x_B ， y_B）间的“L﹣距离”为d（A﹣B）=|x_A﹣x_B|+|y_A﹣y_B|．现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A与坐标原点重合，记边AB所在的直线斜率为k（0≤k≤ $\sqrt{3}$ ），则d（B﹣C）取得最大值时，边AB所在直线的斜率为．

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16. 已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1﹣6a_n ，则使该数列的n项和S_n不小于2016的最小自然数n等于．

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三、解答题

17. 在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 $\vec{m}$ =（cosA+ $\sqrt{2}$ ，sinA），向量 $\vec{n}$ =（﹣sinA，cosA），若| $\vec{m}$ + $\vec{n}$ |=2．

(1)、求角A的大小；

(2)、若b=4 $\sqrt{2}$ ，且c= $\sqrt{2}$ a，求△ABC的面积．

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18. 已知正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．

(1)、在三角形内部随机取一点P，求满足|PB|≥1且|PC|≥1的概率；

(2)、在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，记这3点围成图形的面积为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

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19. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁ ， ∠BAA₁=60°．

(1)、证明：AB⊥A₁C；

(2)、若AB=CB=2，A₁C= $\sqrt{6}$ ，求二面角B﹣AC﹣A₁的余弦值．

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20. 平面上动点M到直线x=﹣1的距离比它到点F（2，0）的距离少1．

(1)、求动点M的轨迹E的方程；

(2)、已知点B（﹣1，0），设过点（1，0）的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，证明：x轴是∠PBQ的角平分线所在的直线．

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21. 已知函数f（x）=x|x+a|﹣ $\frac{1}{2}$ lnx．

(1)、当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若a＜0，讨论函数f（x）的极值点．

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22. 如图，圆内接四边形ABCD中，BD是圆的直径，AB=AC，延长AD与BC的延长线相交于点E，作EF⊥BD于F．

(1)、证明：EC=EF；

(2)、如果DC= $\frac{1}{2}$ BD=3，试求DE的长．

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23. 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为： ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos ϕ \\ y = \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4．

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求线段PQ的最小值．

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24. 已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．

(1)、当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；

(2)、若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

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