北京市门头沟区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-21 类型：期末考试

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一、第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为 $0.00000201$ 千克，将 $0.00000201$ 用科学记数法表示为（）

A、 $20.1 \times 10^{- 5}$ B、 $2.01 \times 10^{- 6}$ C、 $0.201 \times 10^{- 7}$ D、 $2.01 \times 10^{- 5}$

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3. 若分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是（　　）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $x \neq 2$ D、 $x = 2$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{3} \cdot x^{2} \cdot x = x^{5}$ B、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$ C、 ${(\frac{2 x}{y})}^{2} = \frac{4 x^{2}}{y^{2}}$ D、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$

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5. 若一个多边形的内角和为540°，则该多边形为（　　）边形．

A、四 B、五 C、六 D、七

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6. 下列各式从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{3 x^{2}}{6 x} = \frac{x}{2}$ B、 $\frac{n}{m} = \frac{n + 1}{m + 1}$ C、 $\frac{n}{m} - \frac{m}{n} = \frac{n - m}{m n}$ D、 $\frac{n}{m} = \frac{n^{2}}{m^{2}}$

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7. 袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）

A、10cm B、15cm C、20cm D、25cm

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8. 设 $a$ ， $b$ 是实数，定义一种新运算： $a * b = {(a - b)}^{2}$ ，下面有四个推断：
$① a * b = b * a$ ；
$② {(a * b)}^{2} = a^{2} * b^{2}$ ；
$③ (- a) * b = a * (- b)$ ；
$④ a * (b + c) = a * b + a * c$ ．
其中所有正确推断的序号是（）

A、 $① ② ③ ④$ B、 $① ③ ④$ C、 $① ②$ D、 $① ③$

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二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 如果分式 $\frac{x - 2}{x}$ 的值为0，那么 $x$ 的值为是．

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10. 分解因式：a³－a=

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11. 计算： $(5 x y + 4 y) \div y$ = ．

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12. 如图， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，添加一个条件使 $△ A B D ≌ △ A C D$ ，该条件是．

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13. 当 $x^{2} - x - 3 = 0$ 时，代数式 ${(x - 1)}^{2} + (x - 1) (2 x + 1)$ 的值为．

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14. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, 3)$ ， $B (8, 3)$ ，点 $C$ 是 $x$ 轴上的一个动点，当 $A C + B C$ 最小时，点 $C$ 的坐标是．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B < A C$ ， $∠ B A C$ 的平分线与外角 $∠ B C D$ 的平分线相交于点M，作 $A B$ 的延长线得到射线 $A E$ ，作射线 $B M$ ，有下面四个结论：
① $∠ M C D > ∠ M A B$ ；
② $B M = C M$ ；
③射线 $B M$ 是 $∠ E B C$ 的角平分线；
④ $∠ B M C = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ B A C$ ．
所有正确结论的序号是．

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三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算： $|- 5| + 2^{- 2} - {(π - 2024)}^{0}$ ．

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18. 如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.

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19. 计算： $a^{3} \cdot a + {(- 3 a^{3})}^{2} \div a^{2}$ ．

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20. 解分式方程： $\frac{x - 1}{x} + \frac{3}{x + 2} = 1$ ．

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21. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，求代数式 $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a} - 2 b) \cdot \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}}$ 的值．

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22. 如图，AD是 $△ A B C$ 的高，CE是 $△ A D C$ 的角平分线．若 $∠ B A D = ∠ E C D$ ， $∠ B = 70 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数．

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23. 阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算 $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$ 解答过程如下：
解： $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$
$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{a + 3}$ ①
$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{a - 3}{(a + 3) (a - 3)}$ ②
$= 6 + a - 3$ ③
$= a + 3$ ④
问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：

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24. 下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，
求作：点 $D$ ，使点 $D$ 在 $B C$ 边上，且到 $A B$ 和 $A C$ 的距离相等．
作法：
$①$ 如图，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A B 、 A C$ 于点 $M 、 N$ ；
$②$ 分别以点 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ；
$③$ 画射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ．
所以点 $D$ 即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连接 $M P$ ， $N P$ ，
在 $△ A M P$ 与 $△ A N P$ 中，
∵ $A M = A N$ ， $M P = N P$ ， $A P = A P$ ，
∴ $△ A M P ≌ △ A N P$ (______)，
∴ $∠$ ______ $=$ $∠$ ______，
∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $D B ⊥ A B$ ，
又∵ $D E ⊥ A C$ ，
∴ $D B = D E$ (______)．

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25. 列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．

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26. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 3)$ ， $B (2, 4)$ ，连接 $A B$ ．

(1)、画线段 $A_{1} B_{1}$ ，使得线段 $A_{1} B_{1}$ 与线段 $A B$ 关于 $y$ 轴对称，写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 的坐标： $A_{1}$ ， $B_{1}$ ；

(2)、写出一个点 $C$ 的坐标，使 $Δ A B C$ 成为等腰三角形， $C ($ ， $)$ ；

(3)、已知点 $C$ 在坐标轴上，且满足 $Δ A B C$ 是等腰三角形，则所有符合条件的 $C$ 点有个．

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27. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，在 $∠ B A C$ 内作射线 $A P (∠ B A P < 30 °)$ ，点B关于射线 $A P$ 的对称点为点D，连接 $A D$ ，作射线 $C D$ 交 $A P$ 于点E，连接 $B E$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、设 $∠ B A P = α$ ，求 $∠ B C E$ 的大小（用含 $α$ 的代数式表示）；

(3)、用等式表示 $E A$ ， $E B$ ， $E C$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的线段 $A B$ 及点 $P$ ，给出如下定义：
如果点 $P$ 满足 $P A = P B$ ，那么点 $P$ 就是线段 $A B$ 的“关联点”．其中，当 $0 ° < ∠ A P B < 60 °$ 时，称 $P$ 为线段 $A B$ 的“远关联点”；当 $60 ° \leq ∠ A P B \leq 180 °$ 时，称 $P$ 为线段 $A B$ 的“近关联点”．

(1)、如图1，当点 $A, B$ 坐标分别为 $(- 2, 0)$ 和 $(2, 0)$ 时，在 $P_{1} (- 1, 3)$ ， $P_{2} (0, 2)$ ， $P_{3} (0, - 1)$ ， $P_{4} (0, 4)$ 中，线段 $A B$ 的“近关联点”有_______．

(2)、如图2，点 $A$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上， $∠ O A B = 60 °$ ．
①如果点 $P$ 在 $y$ 轴上，且为线段 $A B$ 的“关联点”，那么点 $P$ 的坐标为_______；
②如果点 $P$ 为线段 $A B$ 的“远关联点”，那么点 $P$ 的纵坐标 $t$ 的取值范围是_______．

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