2016年浙江省金华市十校联考高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A、π B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、2π

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2. 命题“∀x∈[1，3]，x²﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A、a≥9 B、a≤9 C、a≥10 D、a≤10

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3. 若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（）

A、16 B、20 C、25 D、36

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4. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足 $\vec{O P}$ = $\frac{1}{4}$ （ $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ +2 $\vec{O C}$ ），则 $\frac{S_{△ P A B}}{S_{△ O A B}}$ 为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 定义：max{a，b}= ${\begin{matrix} a (a \geq b) \\ b (a < b) \end{matrix}$ ，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，﹣4x≤y≤ $\frac{2}{3}$ x，则max{|3x﹣y|，x+2y}的取值范围是（）

A、[ $\frac{21}{4}$ ，7] B、[0，12] C、[3， $\frac{21}{4}$ ] D、[0，7]

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6. 已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（ $\frac{x + y}{2}$ ， $\frac{x - y}{2}$ ），并定义|（x，y）|= $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、8 $\sqrt{2}$ C、16 $\sqrt{2}$ D、32 $\sqrt{2}$

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7. 函数f（x）= ${\begin{matrix} | \log_{2} x | ， 0 < x \leq 4 \\ 2^{| x - 5 |} ， x > 4 \end{matrix}$ 若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）

A、（24，25） B、[16，25） C、（1，25） D、（0，25]

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8.
设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC= $\sqrt{3}$ ，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（）

A、 $\sqrt[4]{2}$ B、 $\sqrt[3]{2}$ C、 $\sqrt[4]{3}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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二、填空题

9. 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁_UT）= ，集合S共有个子集．

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10. 已知数列{a_n}满足a₁=1，并且a_2n=2a_n ， a_2n+1=a_n+1（n∈N^*），则a₅= ， a₂₀₁₆= ．

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11. 已知α∈[0，π]，
（I）若cosα= $\frac{1}{2}$ ，则tan2α=；
（II）若sinα＞cosα＞ $\frac{1}{2}$ ，则α的取值范围是．

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12. 设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2﹣x）+1，则f（4）= ．

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13. 平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为．

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14. 已知F₁ ， F₂分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F₁P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且 $\vec{F_{1} P}$ • $\vec{F_{2} P}$ =0，则双曲线的离心率为．

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15. 自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持| $\vec{P Q}$ |为定值2 $\sqrt{2}$ （P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（I）PQ的中点M的轨迹是的一部分（不需写具体方程）；
（II）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则 $\vec{O M}$ • $\vec{O N}$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos² $\frac{B + C}{2}$ = $\frac{1}{5}$ ，△ABC的面积为4．

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值；

(2)、若2sinB=5sinC，求a的值．

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17. 如图，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求证：平面ABC⊥平面APC．

(2)、若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{93}}{31}$ ，求此时∠MAB的余弦值．

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18. 已知数列{a_n}满足a₁= $\frac{1}{2}$ ，a_n+1a_n=2a_n+1﹣1（n∈N^*），令b_n=a_n﹣1．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n= $\frac{a_{2^{n} + 1}}{a_{2^{n}}}$ ，求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+ $\frac{7}{24}$ ．

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19. 已知F₁、F₂是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1， $\frac{3}{2}$ ）时，△PF₁F₂的面积为 $\frac{3}{2}$ ，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l₁ ， l₂ ， l，直线l与l₁ ， l₂分别交于点R，T．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

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20. 设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．

(1)、若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；

(2)、存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

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