贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-07-20 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 3\}$ ， $N = \{x |- 3 \leq x \leq 2\}$ ，则 $M \cap N =$ （）．

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、2

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2. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为1， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 9$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）．

A、10 B、12 C、14 D、16

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3. 下列散点图中，相关性系数最大的是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 某一射手射击所得环数 $ξ$ 的分布列如下：
$ξ$
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.05
0.06
0.08
m
m
0.21
则 $P (ξ \leq 8) =$ （）．

A、0.58 B、0.5 C、0.29 D、0.21

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5. $△ A B C$ 内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 3 c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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6. 已知 $\tan α = 2 \tan β$ ， $\sin (α - β) = t$ ，则 $\sin α \cos β =$ （）．

A、 $- 2 t$ B、 $2 t$ C、 $- t$ D、t

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 为减函数，且 $f (2) = 0$ ，那么不等式 $x f (x) < 0$ 的解集是（）．

A、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

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8. 方程 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 9$ 的非负整数解个数为（）．

A、220 B、120 C、84 D、24

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）．

A、某同学上学途中经过5个红绿灯路口，遇到红灯的个数为X，若 $X \sim B (5, 0.6)$ ，则 $E (X) = 3$ B、物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程 $l : \hat{y} = 1.1 x - 5$ （x，y单位为分），l的斜率1.1可以解释为：数学成绩每提高1分，物理成绩一定提高1.1分 C、若随机变量X，Y满足 $Y = - X + 1$ ，则 $D (Y) = D (X)$ D、设随机变量 $ξ \sim N (3, 1)$ ，则 $P (ξ < 1) = \frac{1}{2}$

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10. 已知随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）．

A、若A与B相互独立，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、若A与B互斥，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{6}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (B |A) = \frac{1}{2}$ D、若随机事件C满足 $P (C |A) = \frac{4}{5}$ ， $P (C |\bar{A}) = \frac{3}{5}$ ，则 $P (A |C) = \frac{4}{7}$

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11. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，满足 $f (1) = 1$ ，且对任意 $x, y \in R$ ， $f (x + y) = a f (x) f (y)$ （ $a$ 为常数），点 $(n, a_{n})$ 在曲线 $y = f (x)$ 上， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的有（）．

A、 $f (x)$ 的解析式可能为 $f (x) = 1$ B、若 $f (2) = 2$ ，则 $S_{n} = 2^{n} - 1$ C、若 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，则 $a_{n} = 3^{n - 1}$ D、若 $a = 3$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i + 2}}{(a_{i + 2} - 3) (a_{i + 2} - 1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3^{n + 1} - 1})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有种不同的走法．

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13. 在二项式 ${(\frac{x}{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若 $|A F_{2}| = \frac{1}{4} |F_{2} B|$ ，则该双曲线的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是一个边长为 $1$ 的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 是棱 $P D$ 的中点， $P A = 1$ ．

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值．

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16. 每年6月26日为国际禁毒日，某校高二年级组织了7个社团小队在校内进行禁毒知识宣讲活动，校团委记录了7个队宣讲活动的参与人数，得到下表：
社团编号（队）
一
二
三
四
五
六
七
参与人数（人）
101
133
213
143
157
169
185

(1)、若从这7个队中随机选择1个队，求该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率；

(2)、若从这7个队中随机选择4个队，X表示4个队中宣讲活动的参与人数超过160人的队数，求X的分布列和数学期望．

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17. 数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} = 2 n a_{n} + n (n - 1)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求证： $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{3} - 3$ ， $a_{6} - 3$ ， $a_{8} - 3$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最大值．

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18. 巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
60
40
100
女生
20
80
100
合计
80
120
200

(1)、根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？

(2)、该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球的概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率；

(3)、现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据．
证明： $\frac{P (B |A)}{P (\bar{B} |A)} \cdot \frac{P (\bar{B} |\bar{A})}{P (B |\bar{A})} = \frac{P (A |B)}{P (\bar{A} |B)} \cdot \frac{P (\bar{A} |\bar{B})}{P (A |\bar{B})}$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (χ^{2} \dots k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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19. 如图，已知点列 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 在曲线 $y^{2} = x$ 上，点列 $B_{n} (a_{n}, 0)$ 在x轴上， $A_{1} (1, 1)$ ， $B_{1} (0, 0)$ ， $△ B_{n} A_{n} B_{n + 1}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；（直接写出结果）

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{n (n + 1)}{2} < \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{n + 1}} < \frac{n (n + 2)}{2}$ ．

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社团编号（队）	一	二	三	四	五	六	七
参与人数（人）	101	133	213	143	157	169	185

	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	60	40	100
女生	20	80	100
合计	80	120	200

$ξ$	4	5	6	7	8	9	10
P	0.02	0.05	0.06	0.08	m	m	0.21

$P (χ^{2} \dots k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828