2016年上海市八校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知全集U=R，若A={x|x＜0}，B={x|x≥2}，则C_R（A∪B）= ．

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2. 若 $\lim_{n \to \infty}$ $\frac{a n^{2} + b n - 1}{4 n + 1}$ =2，则a+b= ．

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3. 函数f（x）=ln（x²﹣x）的定义域为．

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4. 若复数z满足（3﹣z）•i=2（i为虚数单位），则z= ．

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5. 若cos（α+β）= $\frac{4}{5}$ ，cos（α﹣β）=﹣ $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2 π}{3} < α + β < 2 π$ ， $\frac{π}{2} < α - β < π$ ，则sin2β=

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6. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．

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7. 已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x= $\frac{π}{4}$ 和x= $\frac{5 π}{4}$ 是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ= ．

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8. 已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数g（x）=（3﹣10m） $\sqrt{x}$ 是单调增函数，则a= ．

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9. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{1 - x} ， x < 1 \\ 1 + \log_{2} x ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则使得f（x）≤2成立的x的范围是．

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10. 已知| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2，且 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =0，若向量的模| $\vec{c}$ $- \vec{a}$ $+ \vec{b}$ |=1，则| $\vec{c}$ |的最小值为．

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11. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是．

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12. 若2＜a＜3，5＜b＜6，f（x）=log_ax+ $\frac{3}{4} x - b$ 有整数零点x₀ ，则x₀= ．

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13. 已知点P在函数y= $\frac{1}{x}$ 的图象上，过点P的直线交x、y轴正半轴于点A、B，O为坐标原点，三角形△AOB的面积为S，若 $\vec{B P} = λ \vec{P A}$ 且S∈[2，3]，则λ的取值范围是．

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14. 若函数f（x）=x|x﹣a|（a＞0）在区间[1，2]上的最小值为2，则a= ．

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二、选择题

15. 函数y=f（x）与y=g（x）的图象如下图，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 要制作一个容积为8m³ ，高为2m的无盖长方体容器，若容器的底面造价是每平方米200元，侧面造型是每平方米100元，则该容器的最低总造价为（）

A、1200元 B、2400元 C、3600元 D、3800元

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17. 若直线y=k（x﹣2）与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 有交点，则（）

A、k有最大值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，最小值- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、k有最大值 $\frac{1}{2}$ ，最小值 $- \frac{1}{2}$ C、k有最大值0，最小值- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、k有最大值0，最小值 $- \frac{1}{2}$

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18. 已知点A（1，1），B（5，5），直线l₁：x=0和l₂：3x+2y﹣2=0，若点P₁、P₂分别是l₁、l₂上与A、B两点距离的平方和最小的点，则| $\vec{P_{1} P_{2}}$ |等于（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{173}}{5}$

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三、解答题

19. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=6，sinA= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，B=A+ $\frac{π}{2}$ ；

(1)、求b的值；

(2)、求△ABC的面积．

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20. 如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A₁B₁C₁D₁所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2 $\sqrt{3}$ ，∠DAB=∠BCD=90°，且AA₁=CC₁= $\frac{3}{2}$ ；

(1)、求二面角D₁﹣A₁B﹣A的大小；

(2)、求此多面体的体积．

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21. 已知函数f（x）=ax²﹣2ax+1+b（a＞0）

(1)、若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；

(2)、若a=1，b=1，关于x的方程f（|2^x﹣1|）+k（4﹣3|2^x﹣1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．

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22.
已知点R（x₀ ， y₀）在D：y²=2px上，以R为切点的D的切线的斜率为 $\frac{P}{y_{0}}$ ，过Γ外一点A（不在x轴上）作Γ的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线MN（切点为D），点M、N分别是与AB、AC的交点（如图）．

(1)、用B、C的纵坐标s、t表示直线BC的斜率；

(2)、设三角形△ABC面积为S，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如△AMN，再由M、N作“切线三角形”，并依这样的方法不断作切线三角形…，试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及BC所围成的阴影部分的面积T．

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23. 已知函数f（x）的定义域为实数集R，及整数k、T；

(1)、若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；

(2)、若f（x+T）=k•f（x），且f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明：函数φ（x）为周期函数；

(3)、若f（x+6）= $\sqrt{2}$ f（x），且当x∈[﹣3，3]时，f（x）= $\frac{1}{10} x$ （x²﹣9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n﹣2），n∈N⁺ ，求使得S₁、S₂、S₃、…、S_n小于1000都成立的最大整数n．

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运动员	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	87	91	90	89	93
乙	89	90	91	88	92