山东省潍坊市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-08-14 类型：中考真卷

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一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）

1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（）

A、1.267×10⁵ B、1.267×10⁶ C、1.267×10⁷ D、126.7×10⁴

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3. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）

A、100min，50℃ B、120min，50℃ C、100min，55℃ D、120min，55℃

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5. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（）

A、60° B、55° C、50° D、45°

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6. 已知关于x的一元二次方程x²﹣mx﹣n²+mn+1＝0，其中m ， n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）

A、无实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

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二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

7. 下列命题是真命题的有（）

A、若a＝b ，则ac＝bc B、若a＞b ，则ac＞bc C、两个有理数的积仍为有理数 D、两个无理数的积仍为无理数

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8. 如图，圆柱的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（）

A、体积为π B、母线长为1 C、侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ D、侧面展开图的周长为 $2 + 8 \sqrt{3} π$

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9. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（）

A、a﹣b+c＞0 B、该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0） C、若点（﹣1，y₁）和（2，y₂）在该抛物线上，则y₁＜y₂ D、对任意实数n ，不等式an²+bn≤a+b总成立

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10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC ，连接CO并延长交⊙O于点D ．分别以点A ， C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M ．直线OM交BC于点E ，连接AE ，下列结论一定正确的是（）

A、 $\hat{A B} = \hat{A D}$ B、AB＝OE C、∠AOD＝∠BAC D、四边形AOCE为菱形

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三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）

11. 请写出同时满足以下两个条件的一个函数：．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．

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12. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B ， C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB^'C^' ，则点C^'的坐标为．

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13. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．

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14. 将连续的正整数排成如图所示的数表．记a_（_i_，_j_）为数表中第i行第j列位置的数字，如a_（₁_，₂_）＝4，a_（₃_，₂_）＝8，a_（₅_，₄_）＝22．若a_（_m_，_n_）＝2024，则m＝， n＝．

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四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.

(1)、计算： $\sqrt[3]{- 8} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - | - 3 |$ ；

(2)、先化简，再求值： $(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a + 2}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 2$ ．

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16. 如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD ，点E ， F分别在边AB ， CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE ， FH ．
求证：

(1)、△AEH≌△CFG；

(2)、四边形EGFH为平行四边形．

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17. 如图，正比例函数 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一个交点是 $A (m ， \sqrt{3})$ ．点 $P (2 \sqrt{3} ， n)$ 在直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，过点P作y轴的平行线，交 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点Q ．

(1)、求这个反比例函数的表达式；

(2)、求△OPQ的面积．

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18. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．

(1)、【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．

(2)、【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家
统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
a
3
3.5
1.05
乙商家
4
b
$\bar{x}$
1.24
①直接写出表中a和b的值，并求 $\bar{x}$ 的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．

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19. 2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x ．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式： $T = 21 - \frac{(x + 2) (x + 4)}{8}$ ，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．

(1)、若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；

(2)、已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x² ，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．

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20. 如图，已知△ABC内接于⊙O ， AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D ，过点D作DE⊥AC ，交AC的延长线于点E ，连接BD ， CD ．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若CE＝1， $s i n ∠ B A D = \frac{1}{3}$ ，求⊙O的直径．

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21. 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10^﹣¹•m^﹣²•d^﹣¹）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？

(3)、图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m ， C是AB的中点，CD⊥GD ．在GD延长线上选取一点M ，在D ， M两点间选取一点E ，测得EM＝4m ，在M ， E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m ．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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22. 【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率 $ρ = \frac{k}{s}$ ， s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】

(1)、如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝．

(2)、如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 $\frac{9}{2} m$ 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n²个喷洒半径均为 $\frac{9}{n} m$ 的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．

(3)、如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH ，设AE＝x（m），⊙O₁的面积为y（m²），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．

(4)、【问题解决】
该公司现有喷洒半径为 $3 \sqrt{2} m$ 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）

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商家	统计量
商家	中位数	众数	平均数	方差
甲商家	a	3	3.5	1.05
乙商家	4	b	$\bar{x}$	1.24