广西崇左市宁明县2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-08-14 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 要使 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则 $x$ 的值可以是( )

A、 $1$ B、 $0$ C、 $- 1$ D、 $3$

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2. 下列计算正确的是( )

A、 ${\sqrt{2}}^{0} = \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} (2 \sqrt{3} - 2) = 6 - 2 \sqrt{3}$

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3. 若关于x的方程(m+2)x²-3x+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、m≠0 B、m>-2 C、m≠-2 D、m>0

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4. 矩形、菱形、正方形共有的性质是( )

A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相垂直平分 D、对角线互相平分

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5. 若3、4、a为勾股数，则a的值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、5 C、5或7 D、5或 $\sqrt{7}$

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6. 正十二边形的外角和为（）

A、30° B、150° C、360° D、1800°

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7. “冬季奥林匹克运动会”的英语是“ $O l y m p i c W i n t e r G a m e s$ ”，其中字母“ $i$ ”出现的频率是( )

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：

每周课外阅读时间（小时）	$2$	$4$	$6$	$8$
学生数（人）	$2$	$3$	$4$	$1$

下列说法错误的是（　　）

A、众数是

1

B、平均数是

4.8

C、样本容量是

10

D、中位数是

5

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9. 在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列判断中错误的是( )

A、若 $O A = O B$ ，则▱ $A B C D$ 为矩形 B、若 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，则▱ $A B C D$ 为菱形 C、若 $A B = A C$ ，则▱ $A B C D$ 为菱形 D、若 $∠ B A C = ∠ A B D = 45 °$ ，则▱ $A B C D$ 为正方形

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10. 若一元二次方程mx²+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）

A、m≥-1 B、m≤1 C、m≥-1且m≠0 D、m≤1且m≠0

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11. 已知 $1 < a < 3$ ，则化简 $\sqrt{1 - 2 a + a^{2}} - \sqrt{a^{2} - 8 a + 16}$ 的结果是( )

A、 $2 a - 5$ B、 $5 - 2 a$ C、 $- 3$ D、 $3$

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12. 如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O， $C E ⊥ B D$ ，垂足为点E， $C E = 5$ ，且 $E O = 2 D E$ ，则AD的长为（）

A、 $5 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{5}$ C、10 D、 $6 \sqrt{3}$

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二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

13. 在实数范围内分解因式： $2 x^{2} - 6 =$ ．

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14. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．

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15. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} =$ ．

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16. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ， $∠ D A B$ 的平分线 $A E$ 交线段 $C D$ 于点E，则 $E C =$ ．

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17. 有两个合唱队，各有 $6$ 名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为 $160 c m$ ，甲队身高的方差 $s_{甲}^{2} = 1.2 c m^{2}$ ，乙队身高的方差 $s_{乙}^{2} = 2.0 c m^{2}$ ，则两队身高比较整齐的是队 $.$

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18. 观察下列等式：
第 $1$ 个等式： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ ；第 $2$ 个等式： $\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ；第 $3$ 个等式： $\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ； $\dots \dots$ ，按照以上规律，写出第 $n$ 个等式．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 计算及解方程．

(1)、计算： $\sqrt{24} \div \sqrt{3} - \sqrt{0.5} - \sqrt{\frac{1}{8}} \times \sqrt{6}$ ；

(2)、解方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ．

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20. 如图所示为一块铁皮，测得 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $C D = 24$ ， $A D = 26$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，求这块铁皮的面积．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - c) x^{2} - 2 b x + (a + c) = 0$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三边的长．

(1)、如果 $x = 1$ 是方程的根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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22. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试 $.$ 已知七、八年级各有 $200$ 人，现从两个年级分别随机抽取 $10$ 名学生的测试成绩 $x ($ 单位：分 $)$ 进行统计：
七年级 $86 94 79 84 71 90 76 83 90 87$
八年级 $88 76 90 78 87 93 75 87 87 79$
整理如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
$84$
$a$
$90$
$44.4$
八年级
$84$
$87$
$b$
$36.6$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；
$A$ 同学说：“这次测试我得了 $86$ 分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；

(2)、学校规定测试成绩不低于 $85$ 分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；

(3)、你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．

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23. 点 $E$ 为平行四边形 $A B C D$ 中 $D C$ 边的延长线上的一点，且 $C E = D C$ ，连接 $A E$ 分别交 $B C$ 、 $B D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，连接 $O F$ ．
求证： $D E = 4 O F$ ．

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24. 阅读下面的材料，然后解答问题：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ， $① \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $②$
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1 . ③$
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3 + 1}} = \sqrt{3} - 1 . ④$

(1)、化简： $\frac{3}{\sqrt{5}} =$ ， $\sqrt{\frac{5}{6}} =$ ；

(2)、参照 $③$ 式化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(3)、参照 $④$ 式化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ．

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25. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为 $80$ 元，当销售单价为 $120$ 元时，每天可售出 $20$ 件 $.$ 为了迎接六一儿童节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润 $.$ 据测算，每件童装每降价 $1$ 元，平均每天可多售出 $2$ 件，设每件童装降价 $x$ 元．

(1)、每天可售出件，每件盈利元 $. ($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$

(2)、当每件童装降价多少元时，平均每天盈利 $1200$ 元？

(3)、平均每天的盈利能否达到 $2000$ 元？请说明理由．

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26. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点 $C$ 的直线 $M N / / A B$ ， $D$ 为边 $A B$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ，交直线 $M N$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $C E = A D$ ．

(2)、当 $D$ 为 $A B$ 的中点，四边形 $B E C D$ 是什么特殊四边形？请说明理由．

(3)、若 $D$ 为 $A B$ 的中点，则当 $∠ C A B$ 的度数是多少时，四边形 $B E C D$ 是正方形？请说明理由．

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年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	$84$	$a$	$90$	$44.4$
八年级	$84$	$87$	$b$	$36.6$