湖北省黄石市大冶市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-25 类型：期中考试

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一、选择题（3分×10=30分）

1. 方程 $x (x - 1) = x$ 的解是（）

A、x = 0 B、x = 2 C、x₁= 0，x₂= 1 D、x₁= 0，x₂= 2

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2. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 3$

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4. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）

A、 $200 {(1 + x)}^{2} = 1000$ B、 $200 + 200 \times 2 x = 1000$ C、 $200 (1 + x) + 200 {(1 + x)}^{2} = 1000$ D、 $200 + 200 (1 + x) + 200 {(1 + x)}^{2} = 1000$

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5. 关于二次函数 $y = (x + 1)^{2} - 3$ ，下列说法错误的是（）

A、图象的开口方向向上 B、函数的最小值为 $- 3$ C、图象的顶点坐标为 $(1 ， - 3)$ D、当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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6. 将抛物线 $y = x^{2} + 3 x + 2$ 向右平移a个单位长度后，恰与坐标轴只有两个交点，则（）

A、 $a = 1$ B、 $a = 2$ C、 $a = 1.5$ D、 $a = 1$ 或 $a = 2$

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7. 如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　）

A、60° B、64° C、66° D、68°

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C、D、E是 $⊙ O$ 上的点，若 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{D C}$ ， $∠ E = 70 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 $5 cm$ ，瓶内液体的最大深度 $C D = 2 cm$ ，则截面圆中弦 $A B$ 的长为（） $cm$ ．

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、8 D、10

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10. 若点 $A (- 1, y_{1})$ 、 $B (5, y_{2})$ 、 $C (m, y_{3})$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 上，且 $y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$ ，则 m 的取值范围是（）

A、 $- 1 ＜ m ＜ 1$ B、 $m ＜ - 3$ 或 $m ＞ 1$ C、 $3 ＜ m ＜ 5$ 或 $- 3 ＜ m ＜ - 1$ D、 $- 5 ＜ m ＜ - 3$ 或 $- 1 ＜ m ＜ 1$

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二、填空题（3分×6=18分）

11. 在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 3)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 关于x的一元二次方程 $(k - 3) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则整数k的最大值是．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若四边形 $A B C O$ 是平行四边形，则 $∠ A D C =$ ．

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14. 如图，在半径为1的 $⊙ O$ 中有三条弦，它们所对的圆心角分别为 $60 °$ ， $90 °$ ， $120 °$ ，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是．

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15. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数 $y = x^{2} + 3 x + m$ 的图象上有且只有一个“零和点”，则m＝．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C =45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $A C = 6 ， B C > 4$ ，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， A C$ 边上，且 $A F = C E$ ，则 $A E + B F$ 的最小值为．

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三、解答题（共8小题，8分+8分+8分+8分+8分+10分+10分+12分）

17. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ．

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 (2 - x)$ ．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m - 3) x - m = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 27$ ，求m的值．

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19. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 为10，弦 $B C = 6$ ， D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点．

(1)、求证： $O D ∥ B C$ ；

(2)、求 $B D$ ．

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20. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{4} {(x - 3 m)}^{2} + 3 - 3 m$ （m是实数）．

(1)、小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认同他的说法吗？为什么？

(2)、已知点 $A (a - 5, c)$ ， $B (6 m + 4, c)$ 都在该二次函数图象上，求证： $c \leq 8$ ．

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21. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 $A B C D$ 的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．

(1)、判断四边形 $A B C D$ 的形状；

(2)、在图1中，在 $C D$ 上画点E，使 $∠ A B E =45 °$ ；

(3)、在图2中的 $C D$ 上画点G，使 $C G = A D$ ．

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22. 周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了 $15$ 天的销售数量和销售单价，其中销售单价 $y$ （元/千克）与时间第 $x$ 天（ $x$ 为整数）的函数关系为 $y = \{\begin{array}{l} - x + 14 (0 < x \leq 5) \\ 9 (5 < x \leq 15) \end{array}$ ，日销量 $p$ （千克）与时间第 $x$ 天（ $x$ 为整数）的部分对应值如表所示：
时间第 $x$ 天
$1$
$3$
$5$
$7$
$10$
$11$
$12$
$15$
日销量 $p$ （千克）
$320$
$360$
$400$
$440$
$500$
$520$
$540$
$600$

(1)、从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画 $p$ 随 $x$ 的变化规律，请直接写出 $p$ 与 $x$ 的函数关系式及自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、在这 $15$ 天中，哪一天的销售额达到最大，最大销售额是多少元；

(3)、周老师非常热爱公益事业，若在前 $5$ 天，周老师决定每销售 $1$ 千克红心猕猴桃就捐献 $a$ 元给“环保公益项目”，且希望每天的销售额不低于 $2800$ 元以维持各种开支，求 $a$ 的值．

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23. 问题背景：（1）如图1， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角；
变式运用：（2）如图2，E为 $△ A B C$ 外一点， $A B = A C$ ， $A E = E F$ ， $∠ B A C = ∠ A E F = ∠ B E C$ ，试探究线段 $B E ， A F ， E C$ 之间的数量关系，说明理由；
拓展创新：（3）如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = 4$ ， P为 $A D$ 上的一动点，将线段 $A P$ 绕点A逆时针旋转 $120 °$ 得到线段 $A Q$ ，连接 $Q D$ ，延长 $B P$ 交 $Q D$ 于点E，连接 $E C$ ，若 $∠ A B E = 15 °$ ，则 $∠ E A D =$ ________（直接写出结果），线段 $A E =$ ________．（直接写出结果）

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (3, 0)$ ，点 $C (0, 3)$ ，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点D是x轴上方二次函数图象上一动点，连接 $A D ， B D$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 翻折，得到 $△ A B^{'} D$ ，当点 $B^{'}$ 恰好落在直线l上，求直线 $A D$ 的解析式；

(3)、若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 $A Q ， B Q$ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， $E M + E N$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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时间第 $x$ 天	$1$	$3$	$5$	$7$	$10$	$11$	$12$	$15$
日销量 $p$ （千克）	$320$	$360$	$400$	$440$	$500$	$520$	$540$	$600$