2016年陕西省商洛市高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 在复平面内，复数 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ 对应的点的坐标为（）

A、（0，﹣1） B、（0，1） C、（ $\frac{4}{5}$ ，﹣ $\frac{3}{5}$ ） D、（ $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ）

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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3. 要得到函数y=sin（4x﹣ $\frac{π}{3}$ ）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 单位

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4. 已知M={y|y=x²}，N={x| $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1}，则M∩N=（）

A、{（﹣1，1），（1，1）} B、{1} C、[0， $\sqrt{2}$ ] D、[0，1]

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5. 已知 $\vec{a} = (\cos x ， - 2) ， \vec{a} = (\sin x ， 1)$ 且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则sin2x=（）

A、- $\frac{4}{5}$ B、﹣3 C、3 D、 $\frac{4}{5}$

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6. “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. ⊙C：（x﹣4）²+（y﹣2）²=18上到直线l：x﹣y+2=0的距离为 $\sqrt{2}$ 的点个数有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图所示框图，如果输入的n为6，则输出的n²为（）

A、16 B、5 C、4 D、25

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9. △ABC中，B=60°，最大边与最小边的比为 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，则△ABC的最大角为（）

A、60° B、75° C、90° D、105°

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10.
已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体的体积V的大小为（）

A、 $\frac{35}{3}$ B、12 C、16 D、 $\frac{40}{3}$

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11. 若 $a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ ，则 ${(\frac{a}{π} x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、- $\frac{5}{2}$ C、20 D、﹣15

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12. 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A、（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B、（﹣1，0）∪（1，+∞） C、（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D、（0，1）∪（1，+∞）

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二、填空题

13. 抛物线y²=8x的焦点到直线x﹣ $\sqrt{3}$ y=0的距离是．

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14. 经过圆x²+y²=r²上一点M（x₀ ， y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r² ．类比上述性质，可以得到椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1类似的性质为：经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1上一点P（x₀ ， y₀）的切线方程为．

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15. 从一架钢琴挑出的7个音键中，分别选择3个，4个，5个，6个，7个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为（用数字作答）

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16. 将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组 ${\begin{matrix} 3 x + 4 \leq 19 \\ x \geq 1 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ 所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是．

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三、解答题

17. 设{a_n}是等比数列，公比为q（q＞0且q≠1），4a₁ ， 3a₂ ， 2a₃成等差数列，且它的前4项和为S₄=15．

(1)、求{a_n}通项公式；

(2)、令b_n=a_n+2n（n=1，2，3…），求{b_n}的前n项和．

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18. 《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：

组数	分组	认同人数	认同人数占本组人数比
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55）	15	0.3

(1)、完成所给频率分布直方图，并求n，a，p．

(2)、若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．

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19. 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．

(1)、求证：平面PAC⊥平面PAB；

(2)、若P为半圆周中点，求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值．

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20. 椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y=0的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．

(1)、求椭圆E及抛物线G的方程；

(2)、是否存在学常数λ，使 $\frac{1}{| A B |} + \frac{λ}{| C D |}$ 为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=xlnx+a．

(1)、若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；

(2)、设m＞0，当x∈[m，2m]时，求f（x）的最小值；

(3)、求证： $\forall_{n} \in N_{+} ， e^{1 + \frac{1}{n}} > {(1 + \frac{1}{n})}^{e}$ ．

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22. 如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．

(1)、求证：AC•BC=AD•AE；

(2)、若AF=2，CF=2 $\sqrt{2}$ ，求AE的长．

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23. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ ，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）=4 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；

(2)、设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值．

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24. 已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞）， $\frac{1}{a}$ + $\frac{4}{b}$ ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，

(1)、求 $\frac{1}{a}$ + $\frac{4}{b}$ 的最小值；

(2)、求x的取值范围．

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