湘教版数学八年级上册《第5章二次根式》单元同步测试卷

试卷更新日期：2024-08-13 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$ B、 $4 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 4$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{32} \div \sqrt{8} = 4$

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{12}$

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4. 二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 中字母x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \neq 2$ C、 $x \geq 2$ D、 $x \leq 2$

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5. 计算： $3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27} =$ （）

A、 $- 3 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{75}$ 与 $\sqrt{27}$

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7. 在下列代数式中，不是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{x^{2}}$ D、 $\frac{2}{x}$

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8. 下列计算正确的是( )

A、 $\sqrt{3^{2}} = 3$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{3^{2}} = \pm 3$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \pm 3$

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9. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ .该运算法则成立的条件是（）

A、 $a > 0, b > 0$ B、 $a < 0, b < 0$ C、 $a ⩽ 0, b ⩽ 0$ D、 $a ⩾ 0, b ⩾ 0$

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10. 下列计算中正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 3) (- 4)} = \sqrt{- 3} \times \sqrt{- 4}$ B、 $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{4^{2}} - \sqrt{3^{2}}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若最简二次根式 $\sqrt{2 a + 5}$ 与 $\sqrt{8 - a}$ 是同类二次根式，则 $a =$ ．

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12. 已知实数 $a = \sqrt{3} - 1$ ，则a的倒数为.

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13. 若 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 可以合并，则 $m =$ ．

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14. 实数a在数轴上的位置如图，化简 $\sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ +a= ．

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15. 若 $| x - 1 | + {(y - 2)}^{2} + \sqrt{z - 3} = 0$ ，则x+y+z=.

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16. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 $0.618$ 法就应用了黄金分割数.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，则 $a b = 1$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{10} = \frac{1}{1 + a^{10}} + \frac{1}{1 + b^{10}}$ .则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{10} =$ .

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 计算： $\sqrt{6} \times \sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{10} \div \sqrt{5}$ .

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18. 计算： $4 \times \sqrt{\frac{1}{2}} - {(2 - \sqrt{3})}^{0} + | 4 - \sqrt{8} |$ ．

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19. 计算： $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^{2} + (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

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20. 计算： ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} - \sqrt{24} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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21. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求代数式 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ 的值．

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22. 如图，一只蚂蚁从点 $A$ 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 $B$ ，点 $A$ 表示 $- \sqrt{2}$ ，设点 $B$ 所表示的数为 $m$ ．

(1)、实数 $m$ 的值是；

(2)、求 $| m + 1 | + | m - 1 |$ 的值；

(3)、在数轴上还有 $C$ 、 $D$ 两点分别表示实数 $c$ 和 $d$ ，且有 $| 2 c + d |$ 与 $\sqrt{d + 4}$ 互为相反数，求 $3 c - 2 d$ 的平方根．

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23. 实数 $a$ 与 $b$ 满足 $b = \sqrt{4 - a}$ .

(1)、写出 $a$ 与 $b$ 的取值范围；

(2)、已知 $\sqrt{3} b$ 是有理数，
①当 $a$ 是正整数时，求 $b$ 的值；
②当 $a$ 是整数时，若将符合条件的 $a$ 的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的 $a$ .

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24. 如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点 $O$ 重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点 $A$ 和点 $B$ ，

(1)、点 $A$ 表示的数为；点B表示的数为，线段 $A B$ 的长度为；

(2)、一只蚂蚁从点 $A$ 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 $C$ ，设点 $C$ 表示的数为 $c$ ，
①实数 $c$ 的值为 ▲ ；
②求 $| c + 1 | + | c - 1 |$ 的值；

(3)、在数轴上，还有 $D$ 、 $E$ 两点分别表示 $m$ ， $n$ 且有 $| 2 m + n |$ 与 $\sqrt{n^{2} - 16}$ 互为相反数，求 $2 m - 3 n$ 的平方根。

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25. 我们知道 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，因此将 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ 分子、分母同时乘“ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，所以有 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} =$ ；

(2)、若 $x = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，求 ${(x - y)}^{2} - x y$ 的值；

(3)、根据以上规律计算下列式子的值： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}$ ．

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湘教版数学八年级上册《 第5章 二次根式》单元同步测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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