2024年高考数学真题分类汇编六概率、统计与计数原理

试卷更新日期：2024-08-13 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是( )

A、气候温度高，海水表层温度就高 B、气候温度高，海水表层温度就低 C、随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D、随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

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2. 下列图中，相关性系数最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. ${(x - \sqrt{x})}^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、15 B、6 C、 $- 4$ D、 $- 13$

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4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：
亩产量
[900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（）.

A、100块稻田亩产量的中位数小于 $1050 k g$ B、100块稻田中亩产量低于 $1100 k g$ 的稻田所占比例超过 $40 %$ C、100块稻田亩产量的极差介于 $200 k g$ 至 $300 k g$ 之间 D、100块稻田亩产量的平均值介于 $900 k g$ 至 $1000 k g$

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5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B相互独立 C、事件A与事件B∪C互斥 D、事件A与事件B∩C相互独立

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二、多项选择题

7. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}$ ＝2.1，样本方差s²＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.1²），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（ $\bar{x}$ ， s²），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）

A、P（X＞2）＞0.2 B、P（X＞2）＜0.5 C、P（Y＞2）＞0.5 D、P（Y＞2）＜0.8

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三、填空题

8. 在 ${(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.

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9. （x﹣1）⁶展开式中x⁴的系数为．

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10. 二项式 ${(\frac{1}{3} + x)}^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是．

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11. 在 $(x + 1)^{n}$ 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 $x^{2}$ 项的系数为.

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12. A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为；已知乙选了 $A$ 活动，他再选择 $B$ 活动的概率为.

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13. 某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

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14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是．

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15. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．

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16. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值.

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17. 在下图的 $4 \times 4$ 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．

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18. a₁＝2，a₂＝4，a₃＝8，a₄＝16，任意b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄∈R，满足{a_i+a_j|1≤i＜j≤4}＝{b_i+b_j|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄}有对．

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四、解答题

19. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)、随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)、进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)、抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

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20. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
学业成绩
$[0, 0.5)$
$[0.5, 1)$
$[1, 1.5)$
$[1.5, 2)$
$[2, 2.5)$
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27

(1)、该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？

(2)、估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

(3)、是否有 $95 %$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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21. 已知某险种的保费为 $0.4$ 万元，前3次出险每次赔付 $0.8$ 万元，第4次赔付 $0.6$ 万元
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
$800$
$100$
$60$
$30$
$10$
在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)、求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)、（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 %$ ，已赔偿过的增加 $20 %$ ．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．

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22. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．

(1)、若 $p = 0.4, q = 0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

(2)、假设 $0 < p < q$ ．
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?

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23. 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150

(1)、填写如下列联表：

优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？

(2)、已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 $\bar{p}$ ＞p+1.65 $\sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\sqrt{150}$ ≈12.247）
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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24. 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150

(1)、填写如下列联表：

优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？

(2)、已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 $\bar{p} > p + 1.65 \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\sqrt{150}$ ≈12.247）
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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25. 设m为正整数，数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_i和a_j（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁ ， a₂…，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列．

(1)、写出所有的（i ， j），1≤i＜j≤6，使数列a₁ ， a₂ ， …，a₆是（i ， j）——可分数列；

(2)、当m≥3时，证明：数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（2，13）——可分数列；

(3)、从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列的概率为P_m ，证明：P_m＞ $\frac{1}{8}$ ．

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亩产量	[900，950）	[950，1000）	[1000，1050）	[1100，1150）	[1150，1200）
频数	6	12	18	24	10

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	26	24	0	50
乙车间	70	28	2	100
总计	96	52	2	150

赔偿次数	0	1	2	3	4
单数	$800$	$100$	$60$	$30$	$10$

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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