2024年高考数学真题分类汇编五数列

试卷更新日期：2024-08-13 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₉＝1，a₃+a₇＝（）

A、﹣2 B、 $\frac{7}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{9}$

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2. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若S₅＝S₁₀ ， a₅＝1，则a₁＝（）

A、﹣2 B、 $\frac{7}{3}$ C、1 D、2

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3. 已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x ，则下列结论中一定正确的是（）

A、f（10）＞100 B、f（20）＞1000 C、f（10）＜1000 D、f（20）＜10000

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二、填空题

4. 数列{a_n}，a_n＝n+c ， S₇＜0，c的取值范围为．

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5. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7, 3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $S_{10} =$ .

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6. 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为．

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7. 等比数列 ${a_{n}}$ 首项 $a_{1} > 0$ ， $q > 1$ ，记 $l n = {x - y ∣ x, y \in [a_{1}, a_{2}] ∪ [a_{n}, a_{n + 1}]}$ ，若对任意正整数n ， $l n$ 是闭区间，则q的范围是.

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8. 已知 $M = {k | a_{k} = b_{k}}$ ， {a_n}，{b_n} 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.
① {a_n}，{b_n} 均为等差数列，则M中最多一个元素；
② {a_n}，{b_n} 均为等比数列，则M中最多三个元素；
③ {a_n} 为等差数列， {b_n} 为等比数列，则M中最多三个元素；
④ {a_n}单调递增， {b_n} 单调递减，则M中最多一个元素

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三、解答题

9. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且2S_n＝3a_n₊₁﹣3．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{S_n}的通项公式．

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10. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且4S_n＝3a_n+4．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (- 1)^{n - 1} n a_{n}$ ，求数列{b_n}的前n项和为T_n ．

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列.其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{1} = 1, S_{2} = a_{3} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} k & ; n = a_{k} \\ b_{n - 1} + 2 k & ; a_{k} < n < a_{k + 1} \end{array}$ 其中 $k$ 是大于1的正整数.
(i)当 $n = a_{k + 1}$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
(ii)求 $\sum_{i = 1}^{S_{n}} b_{i}$ .

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12. 若 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）.

(1)、 $y = f (x)$ 过 $(4, 2)$ ，求 $f (2 x - 2) < f (x)$ 的解集；

(2)、存在x使得 $f (x + 1)$ 、 $f (a x)$ 、 $f (x + 2)$ 成等差数列，求a的取值范围.

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13. 已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = m (m > 0)$ ，点 $P_{1} (5, 4)$ 在 $C$ 上， $k$ 为常数， $0 < k < 1$ ．按照如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, ⋯)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ．

(2)、证明：数列 ${x_{n} - y_{n}}$ 是公比为 $\frac{1 + k}{1 - k}$ 的等比数列．

(3)、设 $S_{n}$ 为 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n} = S_{n + 1}$ ．

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14. 设m为正整数，数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_i和a_j（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁ ， a₂…，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列．

(1)、写出所有的（i ， j），1≤i＜j≤6，使数列a₁ ， a₂ ， …，a₆是（i ， j）——可分数列；

(2)、当m≥3时，证明：数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（2，13）——可分数列；

(3)、从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列的概率为P_m ，证明：P_m＞ $\frac{1}{8}$ ．

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15. 设集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，2|（i+j+s+t）}．对于给定有穷数列A：{a_n}（1≤n≤8），及序列Ω：ω₁ ， ω₂ ， …，ω_s ， ω_k=（i_k ， j_k ， s_k ， t_k）∈M，定义变换T：将数列A的第i₁ ， j₁ ， s₁ ， t₁项加1，得到数列T₁（A）；将数列T₁（A）的第i₂ ， j₂ ， s₂ ， t₂项加1，得到数列T₂T₁（A）…；重复上述操作，得到数列T_s⋯T₂T₁（A），记为Ω（A）．

(1)、给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；

(2)、是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a₁+2，a₂+6，a₃+4，a₄+2，a₅+8，a₆+2，a+4，a₈+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；

(3)、若数列A的各项均为正整数，且a₁+a₃+a₅+a₇为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω（A）为常数列”的充要条件为“a₁+a₂=a₃+a₄=a₅+a₆=a₇+a₈”．

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二、填空题

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