河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-07-09 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知i是虚数单位，复数z= $\frac{2 i}{1 - i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、i B、-i C、1 D、-1

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2. 某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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3. 已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面 $△ A B C$ 水平放置的直观图（斜二测画法）为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 1$ ，则该三棱柱的表面积为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{2}$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $6 + 2 \sqrt{5}$ D、 $6 + 4 \sqrt{5}$

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4. 在 $Δ A B C$ 中， $\frac{c - a}{2 c} = {s i n}^{2} \frac{B}{2} (a 、 b 、 c$ 分别为角 $A 、 B 、 C$ 的对边)，则 $Δ A B C$ 的形状为

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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5. 若 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $|\vec{O B} - \vec{O C}| = |\vec{O B} + \vec{O C} - 2 \vec{O A}|$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（　　）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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7. 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件 $A$ ：该家庭既有男孩又有女孩；事件 $B$ ：该家庭最多有一个男孩；事件 $C$ ：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（）

A、事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥但不对立 B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥且对立 C、事件 $B$ 与事件 $C$ 相互独立 D、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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8. 已知正三棱柱的底面边长为 $4 \sqrt{3}$ ，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $80 π$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{80 \sqrt{5}}{3} π$ D、 $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（）

A、该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民 B、对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大 C、对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大 D、2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，点 $E$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A、 $B O ⊥ A C$ B、点 $E$ 存在无数个位置满足 $O E ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、直线 $C C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、三棱锥 $A - E C D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$

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11. $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. i是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为.

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13. 已知某圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π$ ，该圆锥侧面的展开图是弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为.

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14. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，动点 $M$ 在线段 $A D$ 上，点 $M$ 关于点 $O$ 的对称点为点 $N$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .
（1）求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角；
（2）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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16. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b c o s C + \sqrt{3} b s i n C = a + c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ ， $c$ ．

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17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计该市市民评分的 $60 %$ 分位数；

(2)、为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在 $[60, 80)$ 中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.

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18. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)、求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

(2)、求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．

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19. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ .
(1)求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；
(2)求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角；
(3)在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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